www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

(1.6.13)

54 Глава 1. Описание электромеханических систем

0 = ~2((1-П)2+г) (((1~) simp-г COS гр) sin(l - П)г+ + (г sin ф -\- {1 - ft) cos ф) cos(l - П)г -

~2((1 + П)+г) ( + г cos V) sin(l + П)г+

+ (г sin ф - cos ф) cos(l + П)г .

Подставив (1.6.13) в (1.6.12) и усреднив полученные выражения но времени, приходим к уравнению первого приближения для ф:

Очевидно, что решениям системы (1.6.12) близким к равномерным враш,ениям отвечает решение ф = const усредненного уравнения. Такое решение суш,ествует, если для П выполняется условие

-) -пП = 0. (1.6.15)

7г / 1-П 1 + П

(1-П)2+г2 (1 + П)2+Г

Уравнение (1.6.15) задает зависимость частоты враш,ения маятника от параметров системы 7, г, п. Очевидно, что П не может быть больше единицы, так как тогда не суш,ествует решений уравнения (1.6.15) ни нри каких соотношениях между г, 7 и п. Следовательно, частота стационарных враш,ений маятника не может превосходить частоту осцилляции магнитного ноля. Для исследования устойчивости стационарных враш,ений необходимо рассматривать второе приближение, так как оно внесет в уравнение (1.6.14) дополнительное слагаемое, пропорциональное ф. Однако в данном случае, как будет показано ниже, об устойчивости врагцений можно судить из качественных соображений.

Алгебраическое уравнение (1.6.15) можно переписать в виде равенства нулю полинома пятой степени относительно П, не содержаш,его свободного члена. Оно нри любых параметрах имеет корень П = 0. Это решение является посторонним, так как нри П = О нарушается сама процедура получения уравнения (1.6.14). По суш,еству этому корню отвечают движения в виде медленных колебаний, найденные ранее.

Для определения возможных частот стационарных враш,ений маятника получается биквадратное уравнение, корни которого

2 (г7 - 8п + SnP) plusmn; Уг7 - 256пУ

1,2 =---. (1.6.16)



Маятник в переменном магнитном поле

При анализе этого выражения видно, что П О при значениях п 7г(1 - г)

~ Т7Т-2\Т- Из (1.6.16) нетрудно получить, что при -- lt; п, а также

4(1 + г ) 16

при при

4(1+ г2) 7г(1 - г) 4(1+ г2)

lt; п lt;

-, (г gt; л/2 - 1) вращений не существует,

8(1-г2)

gt; п существуют два вращения с частотами

7Г у

8(1-г2)

7/16

7г(1 - г)

gt; gt;(1 + г2)2

0,2 0,4 0,6

0,8 г

Рис. 1.5

равными по модулю и разными по знаку, что отвечает вращениям в

7г(1 - г)

противоположных направлениях. Так как при -;-г- gt; п медлен-

4(1 + г)

ные движения маятниковой системы являются уходящими от положения равновесия и автоколебаний не возникает, то полученные враще-

ния должны быть устойчивы. При выполнении условия -;-г- lt;

4(1 + г2)

lt; п lt; -, (г lt; л/2 -1) система допускает четыре вращения. В фазовом 16

пространстве траектории этих вращений располагаются симметрично относительно оси = 0. В области, задаваемой этими параметрами, медленные движения системы являются устойчивыми, т. е. существуют предельные циклы или устойчивые положения равновесия, к которым стремятся все медленные движения. Таким образом, вращения с меньшими по модулю угловыми скоростями будут неустойчивы, а с большими - устойчивы. Области параметров на плоскости г, п, в которых существуют качественно различные типы движений показаны на рис. 1.5.

Численные исследования интеграла (1.9.8) показали, что значения п = П2(г, 7), при которых медленные движения становятся уходящими (пропадает предельный цикл около положения равновесия = 0)

близки к п = 2-2 Таким образом, переход от четырех вращений



56 Глава 1. Описание электромеханических систем

к двум происходит путем слияния неустойчивого вращения и предельного цикла около = О с соответствующей сепаратрисой.

В результате можно заключить, что маятник, содержащий один проводящий контур, в зависимости от соотношения параметров и начальных условий имеет движения, либо сходящиеся к одному из положений равновесия в = О, тг, либо к предельным циклам около этих положений равновесия, что соответствует его автоколебаниям, либо к вращениям в ту или другую сторону с частотой, меньшей частоты внешнего магнитного поля.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118