www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

72 Глава 2. Динамика электрических машин

Пусть в некотором положении равновесия q = qq, i = 0. Введем вектор возмущений и = q - qo и выразим в (2.2.2) переменные q, q через и, й. Подставив и г в (2.2.2), получим уравнения возмущенного движения. Для них справедливо энергетическое соотношение

+VTi+П(о+)) =-iRi- (2.2.3)

Если удержать в уравнениях возмущенного движения только члены, линейные по неизвестным, придем к уравнениям в вариациях (уравнениям первого приближения). Сохраняя в этих уравнениях те же обозначения для неизвестных, что и в уравнениях возмущенного движения, будем иметь

Ы-\-т-\-Гй = О, Аой -\-Cu- ri = О, (2.2.4)

laquo;- lt;*). -iwkU -(),.,/- lt;-)

Для системы (2.3.2) справедливо соотношение

(АТ +ДЖ +АП)=-АФ, (2.2.6)

AT = йАой, AW = \{Ы , АП = ]иСщ АФ = iRi.

(2.2.7)

1. Пусть равновесие в недемпфированной системе устойчиво и ни одно частное решение w{i) системы

Aib + Ci/; = О (2.2.8)

не удовлетворяет одновременно системе т равенств

Vw = 0. (2.2.9)

Тогда равновесие в системе с гасителями асимптотически устойчиво.

Покажем сначала, что оно просто устойчиво. Поскольку устойчивость равновесия в недемпфированной системе определяется членами второго порядка в разложении П, то матрица С - положительно-определенная и существуют такие ..., (5, что при \ur\ lt; Sr, Ur ф О, г = = 1,...,п будет П gt; 0. При таких Ur и любых ur,ik функция под знаком производной в левой части (2.2.3) положительно-определенная. Функция в правой части - отрицательная. Отсюда и из соответствующей теоремы Ляпунова следует устойчивость.



sect;2.2. Системы с гасителями колебаний 73

При устойчивости равновесия полную совокупность линейно независимых частных решений уравнений в вариациях можно составить из решений трех типов затухаюш,их, описываюш,их гармонические колебания и представляюш,их собой набор постоянных. Последнего при положительно-определенных матрицах R и С яе может быть. Колебательные решения, в которых ij О хотя бы для одного j, не могут удовлетворять соотношению (2.2.6). Решений же, когда все ij = О, также не может быть, поскольку решения системы (2.2.8) не удовлетворяют равенствам (2.3.7). Остается, что все решения системы (2.2.4) затухаюш,ие, т. е. устойчивость асимптотическая.

По если равенства (2.2.9) для какого-нибудь решения системы (2.2.8) выполняются, то уравнения в вариациях (2.2.4) допускают частное решение, в котором все ij = О, а Ur{t) описывают это частное решение системы (2.2.8). Тогда устойчивость не будет асимптотической.

Равенства (2.2.9) означают,что возможны колебания недемпфированной системы, при которых в контурах гасителей не наводятся ЭДС движения. Узнать, если ли такие колебания, обычно нетрудно. В более сложных случаях может быть полезна другая форма равенств (2.2.9). Обозначим через ix вектора форм свободных колебаний системы (2.2.8). Для асимптотической устойчивости ни одна форма не должна удовлетворять т равенствам

Ги =0. (2.2.10)

Для систем с вязким трением суш,ествует обш,ее (справедливое независимо от того, каковы собственные формы недемпфированной системы) условие асимптотической устойчивости равновесия - положительная определенность матрицы коэффициентов трения. Аналога этому для систем с магнитоэлектрическими гасителями нет. Приведенное выше утверждение аналогично следуюгцему утверждению для систем с вязким трением: пусть матрица коэффициентов трения неотрицательна и формы колебаний недемпфированной системы не совпадают с собственными векторами этой матрицы, отвечаюш,им нулевым собственным числам. Тогда устойчивость равновесия асимптотическая.

2. Пусть равновесие недемпфированной системы неустойчиво. Тогда неустойчиво и равновесие в системе с гасителями. Поскольку неустойчивость определяется членами второго порядка в разложении П, то можно выбрать такие ию,... ,Uno, что АЩию,... ,Uno) lt; 0. Рассмотрим решение системы (2.2.4) с начальными условиями u{to) = = u{to) = О, г (to) = 0. Такое решение не может быть затухаюш,им (когда все Ur О, йг О, ij О или ij = 0), поскольку из (2.2.6) следует, что AT + AW + АП lt; АЩщ) lt; О, а в затухаюш,ем решении АГ + AVT + АП 0.



74 Глава 2. Динамика электрических машин

Допустим, что в рассматриваемом решении системы (2.2.4) не все ij = О . Тогда ix(t), г = 1,..., п не удовлетворяют т равенствам

Г й, = 0, (2.2.11)

иначе йг не входили бы в первые т уравнений (2.2.4) и при ij{to) = = О, j = 1,...,ш, все ij = О . Следовательно, если Ur{t) описывают незатухаюгцие колебания или суперпозицию незатухаюгцих колебаний и затухаюгцих движений, то хотя бы одно ij{t) содержит незатуха-юш,ую компоненту. Такой набор Ur{t), ij{t) не может быть решением системы (2.2.4), так как он не удовлетворяет соотношению (2.2.6). Остается, одно: рассматриваемое решение неограничено, а равновесие неустойчиво.

Если же в этом решении все ij = О, то Ur{t) изменяются в соответствии с одним из частных решений системы (2.2.8). Но любое ее решение, удовлетворяюш,ее условию АП(о) lt; О, неограниченное. Следовательно, при принятых начальных условиях решение системы (2.2.4) неограниченное независимо от того, будет ли ij = О или нет, а равновесие системы с гасителями неустойчиво.

3. Рассмотрим еш,е случай, когда одна группа уравнений в вариациях содержит члены, описываюш,ие laquo;чисто механические raquo; гироскопические силы и имеет вид

Au + Gu + Cu- ri = О,

(2.2.12)

G = -G,

Другая группа уравнений в вариациях та же, что первые т уравнений в (2.2.4).

Такие уравнения могут появиться, если связи в колебательной системе нестационарные, но выражение кинетической энергии не содержит времени явно. Коэффициенты Crs при этом получаются из разности П - То, где То - член в выражении кинетической энергии, не зависяш,ий от обобш,енных скоростей. Уравнения (2.2.12) возникают также в случае, когда механическая система содержит циклические координаты, и исследуются равновесия в позиционной подсистеме при фиксированных циклических импульсах. Вместо второй группы уравнений Лагранжа в (2.2.12) в этом случае войдут уравнения Рауса, которые могут содержать гироскопические члены.

4. Пусть равновесие линейной системы, описываемое уравнениями в вариациях для системы без гасителей

Aqw -\-Gw -\-Cw = 0, (2.2.13)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118