www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;2.3. Оптимальные параметры гасителя 75

обладает временной устойчивостью, и ни одно частное решение уравнений (2.2.13) не удовлетворяет т равенствам (2.2.9). Тогда равновесие в системе с гасителями неустойчиво.

Выберем начальные условия решения уравнений в вариациях для системы с гасителями так же, как в случае неустойчивого равновесия недемпфированной системы. Неравенство АП lt; О при временной устойчивости возможно, а соотношение (2.2.6) сохраняется. В рассматриваемом решении не все ij = О , так как при i = О входягцие в него Ur{t) совпадают с решениями системы (2.2.13), а последние не удовлетворяют равенствам (2.2.9), необходимым, чтобы было i = 0. Неустойчивость в системе с гасителями далее устанавливается тем же путем, что и при неустойчивости равновесия недемпфированной системы, только исключается случай i = 0.

Но если равенства (2.2.9) могут быть выполнены, то может оказаться, что им удовлетворяют все частные решения системы (2.2.13), для которых возможно неравенство АП lt; 0. Тогда гасители не разрушают временной устойчивости, но и не гасят колебания. Погасить колебания гироскопически стабилизированной системы при помогци магнитоэлектрических гасителей, не разрушая устойчивости, так же невозможно, как и с помош,ью демпферов вязкого трения.

sect; 2.3. Оптимальные параметры

магнитоэлектрического гасителя малых колебаний системы с одной степенью свободы

Рассмотрим задачу об оптимальном выборе параметров гасителя с одним контурным током, предназначенным для гашения малых колебаний системы с одной степенью свободы. Уравнения малых колебаний в этом случае получаются из уравнений первого приближения (2.2.4) при ш = 1, п = 1:

Ы + Гй + Ш = О,

(2.3.1)

Ай-П + Си = 0. Здесь уже А, Г, С, L, R - скалярные величины; С gt; О, поскольку равновесие недемпфированной системы должно быть устойчиво, знак Г несуш,ествен, остальные коэффициенты положительны согласно sect; 2.2. Пусть все параметры кроме R заданы. При очень малых значениях R или при R = oo (разомкнутый контур) гаситель, очевидно, неэффективен. То же будет, если заданы все параметры кроме Г и Г = 0. При достаточно больших значениях Г гаситель также неэффективен по той же причине, что и демпфер вязкого трения с очень большим ко-



Глава 2. Динамика электрических машин

эффициентом демпфирования. Поэтому задача об оптимальном выборе Г при фиксированных значениях прочих параметров при разумном выборе критерия оптимальности имеет решение; то же относится и к выбору R. Далее оптимальными считаются значения параметров, соот-ветствуюш,ие максимальной степени устойчивости, т. е. максимальной величине модуля веш,ественной части того корня характеристического уравнения, который расположен ближе к мнимой оси, чем остальные корни. Это часто применяемый критерий оптимальности (см., например, [14]).

Полагая в (2.3.1) переменные и, г пропорциональными exp(At), получим характеристическое уравнение

А LA + А ЛЛ + (СТ + Г2)Л + Л (7 = 0. (2.3.2.)

Корни его, как показано в sect; 2.2 при исследовании устойчивости, либо отрицательны, либо имеют отрицательные веш,ественные части;

это легко проверить и непосредственно, составив определители Гурвица.

Считая параметры колебательной системы заданными, введем в (2.3.2) новое неизвестное /i = Л/П, = С/А и запишем уравнение относительно /х:

/х+до2+7/х + / = 0. (2.3.3)

Оно содержит два независимых параметра

R Г2

Р = Т7 7=1 +


Рис. 2.3

Ш CL

Если в уравнении (2.3.3) сделать замену Jl = /i/рз то относительно J1 уравнение запишется в каноническом виде

+ a/i + + 1 = О, (2.3.4)

где а = , b = у/р. Условие асимптотической устойчивости равновесия в виде критерия Гурвица выполняется для любых р gt; О, 7 gt; 1:

аЬ = J gt; 1,

а gt;0, Ь gt;0.

Характерное расположение корней уравнения (2.3.4) дает диаграмма (рис. 2.3). Здесь кривая 1 - гипербола аЬ = 1, кривая 2 отвечает равенству действительных частей корней уравнения (2.3.4), а следовательно и (2.3.3), кривые 3, 4 - условию суш,ествования корня второй



sect;2.3. Оптимальные параметры гасителя 77

степени кратности. Эти кривые делят плоскость параметров на области с различным расположением корней уравнения (2.3.3), так как это показано на рисунке.

Рассмотрим сначала задачу об оптимальном выборе одновременно обоих параметров j и р (кстати, из предыдущего не следует, что она имеет регаение). При двух выбираемых параметрах три коэффициента уравнения (2.3.3) должны быть связаны соотногаением, не содержащим параметров. Оно очевидно: второй коэффициент равен свободному члену. Отсюда получается соотношение между корнями pi + + /2 + Аз = /1/2/3- Следовательно, нужно выбрать /ii,/i2,/3, удовлетворяющие этому соотношению и условию оптимальности; затем найдутся коэффициенты в (2.3.3). Такой выбор нужно произвести дважды: когда корни вещественные и когда один корень вещественный, а два комплексно-сопряженные. После этого нужно выбрать лучший вариант. Пусть корни вещественные. Выразим один корень через два других /is = (/ii +/i2)/(/i/2 - 1). Производные д/1з/д/11, 8/13/8/12 там, где они существуют - отрицательные. Отсюда сразу следует, что оптимальное решение laquo;на вещественных корнях raquo; отвечает трехкратному корню /ii = /12 = /is = - л/З и значениям параметров р = Зл/З, 7 = = Р1Р2 + /2/3 + /3/1 = 9. Действительно, выбирая pi и р2 меньше - л/З, получим рз gt; - л/З.

Пусть теперь имеется один вещественный корень ps и два комплексно-сопряженных: pi2 = a plusmn;if3. Выразим ps через а, (3 получим ps = = 2al{a + - 1). Числа а,р{а,15 = 0) соответствуют не меньшей степени устойчивости, чем числа а, psiot, Р) при любом Р фО. Поэтому оптимальное решение следует искать при Р = О, что вновь приводит к уже рассмотренному случаю трех вещественных корней . Впрочем, можно использовать и соотношение р = 2а/{а 1)? где а lt; -1. Производная dps/da отрицательна, что сразу дает р = а = - л/З.

Представляет также интерес задача об оптимальном выборе 7 при фиксированных значениях р; к ней сводится выбор оптимальной величины тока, создающего постоянное магнитное поле при заданных параметрах контура.

В этом случае корни уравнения (2.3.3) удовлетворяют двум соотношениям, не содержащим выбираемого параметра 7. Если один корень рз вещественный, а два остальных комплексно-сопряженные, pi2 = = a plusmn;il3, эти соотношения имеют вид 2а-\- рз = -р, рз{а + Р) = -р. Выберем оптимальные значения а и р, удовлетворяющие только первому соотношению. Решение этой задачи очевидно: а = рз = -р/Ъ. Если теперь из второго соотношения при найденных а и р можно определить gt; О, то эти значения а,рз,Р соответствуют оптималь-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118