www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

Глава 2. Динамика электрических машин

ному решению полной задачи. Условие gt; О дает р lt; Зл/З. При таких значениях р оптимальная величина 7 = 2/?/9 + 3. При р = Зл/З оптимальным будет решение, соответствуюш,ее трехкратному корню, как и в случае оптимального выбора j и р.

Оптимизация по 7 при фиксированных р сводится к изучению изменения расположения корней вдоль вертикальных прямых а = const. Случай р lt; Зл/З отвечает прямым, лежагцим левее прямой а = 3. Оптимальное расположение корней находится на кривой 2, при этом все три корня имеют одинаковую веш,ественную часть.

Пусть р gt; Зл/З. В этом случае прямые а = const пересекают три области: две области с двумя комплексно-сопряженными корнями и одним веш,ественным и область с тремя веш,ественными корнями. Рассмотрим сперва случай комплексно-сопряженных корней. Из двух соотношений, связываюш,их рз,а и получается соотношение между /З и а:

р = Р = а\ (2.3.5)

Задав из (2.3.5) можно найти а, а затем р = -р - 2а. При достаточно больших gt; 1 уравнение (2.3.5) имеет единственное решение, а = ai{P), причем -р/2 lt; ai lt; -p/S, psici) gt; в этом легко убедится, если изобразить качественно зависимость правой части уравнения (2.3.5) от а и учесть, что при а = -р/3,р gt; Зл/З получается lt; 0. При уменьшении у уравнения (2.3.5) появляются два других корня laquo;2, lt;з, таких, что -р/3 lt; laquo;2 lt; О, gt; О, /is (02) lt; lt; laquo;2- Если выбирать все меньшие значения вплоть до = О, то значения ai увеличиваются, а рз уменьшаются, так что выбор (З = О дает лучшее значение критерия оптимальности \рз\ = р -\- 2ai(0), чем выбор любого другого значения Значения же laquo;2 при уменьшении уменьшаются, и лучшее значение критерия оптимальности, равное в этом случае \а2\, также получается при = 0.

Остается сравнить два значения ps = -p-2ai{0) и laquo;2(0). Покажем, что laquo;2(0) lt; -p - 2ai. Рассматриваемые значения а являются корнями уравнения р - ро? - 2о? = О и удовлетворяют соотношениям а\а2 + + а2 lt;з + lt;з lt;1 = О, axaOLi - pl2. Из уравнения следует, что -р - 2а\ - - -р1а\. Используя второе соотношение между корнями, приведем доказываемое неравенство к виду ai lt; -2аз. Внося сюда выражение аз = -aia2/{ai + laquo;2), получаюш,ееся из первого соотношения, после простых преобразований придем к очевидному неравенству ai lt; laquo;2-

Таким образом, максимальная степень устойчивости в рассматриваемом случае равна а2(/), где laquo;2 - больший отрицательный корень уравнения Q{a,p) = а -\- {р/2)а - р/2 = 0. Для исходного уравне-



sect;2.3. Оптимальные параметры гасителя

ния (2.3.3) этот корень кратный и, следовательно, является корнем производной полинома в левой части (2.3.3). Отсюда определяется оптимальное значение 7 = -За - 2ра2.

Re/i i


Рис. 2.4

Анализ случая, когда корни уравнения (2.3.3) вегцественные, не изменяет вывода, что найденные значения степени устойчивости и 7 оптимальные. Оптимальное расположение корней при р gt; Зл/З отвечает кривой 3 на рис. 2.3.

Укажем некоторые свойства зависимости laquo;2 от р. При а = - 1 имеем Q lt; О, dQ/da lt; 0. Зная расположение корней Q{a,p), заключаем, что laquo;2 lt; - 1 при всех р gt; Зл/З. Очевидно также, что laquo;2 - 1 при р оо. Дифференцируя Q{a,p) ио р с учетом того, что а - функция р, получим, что da2/dp = О при laquo;2 = -1- Но так как значение laquo;2 = -1 не достигается, то laquo;2 - монотонно возрастает с ростом р от а = - л/З при р = Зл/З.

Таким образом, непосредственно показано следующее. Определенная в этой задаче наибольгаая по 7 при фиксированных значениях р степень устойчивости достигает наибольшего значения по р, равного тому значению, которое достигается при оптимизации по 7 и одновременно.



Глава 2. Динамика электрических машин

Зная качественно зависимость а2{р), легко исследовать зависимость {р). Получается, что {р) - монотонно возрастающая функция р и 9 lt; J lt; оо нри Зл/З lt; р lt; оо.

Третья возможная задача - оптимальный выбор р при фиксированных значениях 7 и определение максимальной степени устойчивости как функции 7. Пе излагая ее полное решение, укажем два самых простых случая и приведем окончательный численный результат. Как и в предыдущей задаче, имеем два соотношения между корнями, не содержащих выбираемого параметра. Они имеют вид /ii + /2 + Аз = = piP2fJ3j /xi/i2+/X2/i3+/X3/ii = 7. При 1 lt; 7 lt; 9 оптимальное решение соответствует случаю, когда pi2 = ol plusmn; , рз - вещественное число. Если 1 lt;7 lt;5, тоа gt;/хзи максимальная степень устойчивости \а\ = (7 - 1)/4 достигается при = (7 + 1)/2. Если же 5 lt; 7 lt; 9, то

\а\ = Ы = ч/(7-3)/2 И р = 3\а\. В последнем случае имеем ту же связь между J и р и между р и а, что и в одном варианте решения предыдущей задачи а = -/?/3,7 = = 2рУ9 + 3.

Оптимизация демпфирования по р при фиксированном 7 отвечает исследование расположения корней характеристического уравнения (2.3.3) на рис. 2.3 при движении по гиперболам аЬ = J. При 1 lt; 7 lt; 3 соответствующие гиперболы полностью лежат в области между кривыми 1, 2, 3; при 3 lt; 7 lt; 9 они пересекают кривую 2, а при 7 gt; 9 - кривые 3, 4. В случае 1 lt; 7 lt; 5 поиск оптимума сводится к нахождению аналитического максимума зависимости модуля вещественной части комплексно-сопряженных корней (рис. 2.4).

При 5 lt; 7 lt; 9 оптимум лежит на кривой 2 и соответствует равенству вещественных частей корней характеристического уравнения (рис. 2.3). При 7 gt; 9 (рис. 2.3) оптимальное расположение корней находится на кривой 3. Интересно отметить, что при 7 gt; 5 оптимальному значению р отвечает неаналитический максимум зависимости максимальной степени устойчивости от р. Полные зависимости оптимального значения р и максимальной степени устойчивости ш от 7 представлены на рис. 2.5.


Рис. 2.5



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118