www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;1.1. Электро- и магнитостатика 15

Применив теорему о дивергенции, предадим интегралу несколько иную форму

сг* =пр,* = - Vp.

Таким образом, электрическое ноле в диэлектрике совпадает с полем в его отсутствие, если заменить диэлектрик эффективной системой зарядов с объемной плотностью * и поверхностной сг*. Очевидно, что суммарный поляризационный заряд равен нулю.

Вместо вектора поляризации удобно ввести вектор электрической индукции, равный [91]

D = гоЕ + р. (1.1.14)

Как показывает опыт, в изотропных средах поляризация пропорциональна напряженности Е, тогда имеем

D = гЕ. (1.1.15)

Обобщая на случай анизотропной среды,

D=-E, (1.1.16)

где г - тензор диэлектрической проницаемости. Энергия электрического поля диэлектрика определяется по формуле, обобщающей (1.1.6):

У = \ j dv. (1.1.17)

Это выражение служит потенциалом для электростатической силы, которая для диэлектрика в линейном случае (1.1.15) равна [91]

=\{e-e)VE\ (1.1.18)

Рассмотрим задачу магнитостатики (магнитное поле создается постоянными замкнутыми токами). Силовое взаимодействие элементов тока определяется законом Ампера*)

/0 dJ2 X (dji X Г21)

*) Очевидно, что соотношение (1.1.20) не удовлетворяет третьему закону Ньютона Fi2 / -F21. Самим Ампером закон взаимодействия элементов тока был выведен из эксперимента в несколько иной форме [91], удовлетво-ряюш;ей третьему закону. В интегральной форме, при вычислении суммарной силы взаимодействия токовых контуров соотношение (1.1.20) и данное Ампером приводят к одинаковым результатам.



16 Глава 1. Описание электромеханических систем

где /io - магнитная проницаемость вакуума. Здесь надо оговориться, что понимается под элементом тока. В реальных проводниках или проводящих телах распределение тока может быть достаточно сложным. Нахождение такого распределения составляет, вообще говоря, отдельную задачу. В электротехнике часто априори задаются токовым распределением или вводят понятие линейного тока, т. е. тока (как потока заряженных частиц) размеры любого сечения которого достаточно малы по сравнению с расстоянием от этого сечения до рассматриваемой точки поля. Для линейного тока dj = Jds, где J - полный ток, ds - направленный элемент токового контура.

Соотношение (1.1.20) можно переписать в виде

F21 =dJ2 ХВ21, (1.1.21)

= (1.1.22)

определяет вектор индукции магнитного поля, создаваемого элементом тока dji в точке 2. Выражение (1.1.21) естественным образом обобщается на распределенные токи. В этом случае вектор объемных сил определяется через объемную плотность тока

f = j X В. (1.1.23)

Для распределенных токов выражение для магнитной индукции может быть записано в интегральной форме:

j(ri) X (r-n

B(r) = / V 1я di- (1-1-24)

r-ril3

в силу (1.1.24) вектор магнитной индукции может быть представлен в виде

B = VxA, A=l[jdv,. (1.1.25)

47Г У r-ri

Так как вектор А (векторный потенциал) определяется с точностью до градиента скалярной функции, на него накладывается дополнительное условие нормировки

Л-А = 0. (1.1.26)

Прямой подстановкой можно убедиться, что для векторов В и А выполняются соотношения

V X В = -ЛА = /ioj , V В = 0. (1.1.27)

Как и в случае электростатики, магнитные силы потенциальны и потенциалом служит энергия магнитного поля с обратным знаком [91]

J f Sudv = -SW, W = J B4v. (1.1.28)



sect;1.1. Электро- и магнитостатика 17

Проварьируем выражение для магнитной энергии, учитывая что

В . Ж = V X А . Ж = V (А X Ж) + V X Ж . А

. (1.1.29)

Виртуальное изменение плотности тока может быть определено из условия, что при виртуальном перемещении Su сила тока через произвольную поверхность должна оставаться постоянной (если только эта поверхность перемещается или деформируется вместе со средой):

j-nds = J = const. (1.1.30)

При смещении Su элементов среды может измениться плотность тока, чему отвечает вектор 5j в различных точках поверхности 5, а также может деформироваться контур L этой поверхности. Пусть ds - элемент контура L, тогда при смещении 5и этот элемент опигает площадку 5S = 5и X ds. Следовательно, полное изменение тока J через произвольную поверхность S равно

5J = j 5у ndS + j {5и X ds) = 0. (1.1.31)

Преобразуем последний интеграл по теореме Стокса:

j . {Su X ds) = (j X (5u) . ds = У (V X (j X Su)) ndS. (1.1.32)

в силу произвольности поверхности 5 из (1.1.31) получаем

(5j = -V X (j X Su). (1.1.33)

Подставим это соотношение в (1.1.29):

A-Sj = -A-Vx(jx(5u) = - V-[(jx(5u)xA] + (VxA)-(jx(5u). (1.1.34)

При интегрировании по полному полю первое слагаемое пропадает, и, внося (1.1.34) в (1.1.29), получаем

/Но J AS3dv = У В . (j X Su)dv = - у (j X В) . Sudv, (1.1.35)

т.е. объемная сила f = j х В, и выражение для W (1.1.28) действительно является энергией магнитного поля.

Подобно тому как диэлектрики вносят искажение во внешнее электрическое поле, обусловливаемое их поляризацией, так и внесение маг-нитовосприимчивых материалов (магнетиков) в магнитное поле приводит к изменению этого поля, вызываемое их намагничиванием. По



1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118