Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

156 Глава 2. Динамика электрических машин

Обозначим через г/, г, г, ic соответственно токи в обмотке возбуждения и фазных обмотках, а через wqj w - числа витков. Примем за независимые контурные токи ia и г, тогда ic = -{ia + ч)- Составив уравнения Кирхгофа для магнитной цени можно показать,что магнитные потенциалы стали ротора и статора одинаковы. Поэтому магнитные потоки через зубцы статора Ф, Ф, Фс будут

Фа = wiaQa + О/а, = wibQb + WoifQb,

(2.15.1)

Фс = -w{ia + ib)9c + WoifQc-

Здесь ((/?), дь{), 9c{) - магнитные проводимости зазоров под соответствующими зубцами статора, ср = zi), д - угол поворота ротора, Z - число зубцов ротора.

Зная Фд, Ф, Фс, можно найти потокосцепления контуров а, Ъ, /:

Фа = ]Zw[a - Фс) + Lnia + Liia + 5) =

= ]zw{ga+ дс) + 2Ln

Фб = 2:1/;(Фб - Фс) + Lnib + (ia + ib) =

+ zwigb + c) + 2Ln ib + 2:i/;i/;o(6 c)v,

Ф/ = ZWo{Фa + b + c) =

= -zwwo{ga - gc)a + -zwwo{gb - дс)гь + -zwgoif.

(2.15.2)

Здесь go = да + дь + gc - проводимость зазора под катушечной группой в пределах одного периода зубцов ротора, Ьп - индуктивность нагрузки. Величина до не зависит от (р.

Отметим основные свойства магнитных проводимостей да{(р), дь{), дс{ lt;р) Во-первых, для них справедливы соотношения сдвига дъ{ lt;р) = = а((/? - ), дс{р) = 5а(+ ). Во-вторых, ОНИ НС содсржат гармоник с номерами, кратными трем, поскольку их сумма равна константе.

Коэффициенты при токах в выражениях нотокосценлений (2.15.2) являются коэффициентами само- и взаимоиндукций рассматриваемых контуров. Обозначив их через La, Ьь, Lf, Маь, Maf, Mbf, запишем выражение энергии магнитного поля

W = \{Ы1 + + L)) + MabiaH + Mafiaif + M/ii/. (2.15.3)

sect;2.15. Уравнения электромеханических процессов 157

Теперь можно составить уравнение вращения ротора

М= + М, (2.15.4)

где М - внешний вращающий момент, приложенный к ротору при работе машины генератором. Выражение для электромагнитного момента имеет вид

= zw[w{g + gJil + w{gl + gJil +

+ 2wgja4 + miga - 9c)iaif + migb - gcYbif],

(2.15.5)

где штрихом обозначено дифференцирование по углу if. При прямоугольном сечении зубца ротора производные д, д, д будут разрывными функциями if, что, однако, для дальнейшего несущественно.

Вычислим определитель А, составленный из коэффициентов индукции при = О,

А = 9дадь9с- (2.15.6)

Это означает, что даже при чисто активной нагрузке и пренебрежении потоками рассеяния из последующих уравнений нельзя выразить один ток через два остальных.

Для выделения малых параметров введем далее вместо исходных неизвестных токов безразмерные переменные iau, Ни, if и, определив их соотношениями

iau = ia/i*, ibu = 4/i*, ifu = if/if*- (2.15.7)

Здесь г* - характерное значение фазного тока, г/* = {w/wo)i*. Безразмерные потокосцепления обозначим аи, Ьи, fu-

Фап = a/lzwgoi*, Фбп = b/lzwgoi*,

(2.15.8)

Ф/гг = ff-zwwogoi.

Вместо (2.15.2) получим выражения безразмерных потокосцеплений через безразмерные токи:

Фа laquo; = {дай + дси + Юаи + {дси + l)ibu + {дай gcu)ifu,

Фб laquo; = {дси + ln)iau + {дьи + дси + Dibu + {дьи gcu)ifu, (2.15.9)

Ф/ laquo; = {дай - gcu)iau + {дЬи - дси)Чи + ifu-

Здесь дай = да/до, дьи = дь/до, дси = gdgo - безразмерные магнитные проводимости, In = Ln/zwgo - безразмерная индуктивность нагрузки.

158 Глава 2. Динамика электрических машин

Введем еще безразмерное время т = zQt и безразмерную угловую скорость UJ = где П* - характерная угловая скорость вращения ротора. Запишем теперь безразмерные уравнения Лагранжа-Максвелла, отбрасывая при этом индекс и у безразмерных переменных и коэффициентов и обозначая точкой дифференцирование по безразмерному времени:

[{да + дс + 2ln)ia + {дс + 1п)ч + {да - gc)if] + r{2ia + ib) = о, [{дс + In) + {дь + дс + 2ln)ib + {дь - gc)if] + r{2ib + iJ = о,

[{да - gc)ia + {дь дс)ч + v]* + SfVfif = г/е/.

CJ =

l{ga + gc)il + l{gl + gc)il+

gciaib + (1 - gc)iaif + (6 - gc)4if

(/? = a;. (2.15.10)

Здесь r = R/{zwgon), SfVf = Rf / {zwlgoQ), = zwgoil/JQl, SajTn = M/Jzftl; SfCf = Ef/{zwgoVti), R vl Rf - соответственно, активное сопротивление нагрузки и цепи возбуждения, Ef - напряжение возбуждения; коэффициенты Sf и sj введены по причинам, объясненным далее.

Рассмотрим случай, когда активное сопротивление нагрузки примерно равно характерному индуктивному сопротивлению обмоток якоря. При этом мощность, потребляемая нагрузкой, будет порядка номинальной мощности машины. Величина г в (2.15.10) в таком случае будет порядка единицы. Величины же SfVfScj vl SfCf - значительно меньше единицы; чтобы это подчеркнуть, и введены обозначения малых параметров f, (jj. Малость параметров f vl объясняется тем, что характерная постоянная времени цепи возбуждения и механическая постоянная времени много больше характерной постоянной времени якорных цепей. Для однофазных индукторных машин малость параметров в безразмерных уравнениях Лагранжа-Максвелла подробно обсуждается в sect;2.12; эти рассуждения применимы и к рассматриваемым трехфазным машинам.

Малость параметров и позволяет использовать для упрощения уравнений (2.15.10) асимптотические методы нелинейной механики. По предварительно удобнее принять за новую неизвестную потокосцепление Ф/, исключив из уравнений ток возбуждения i f. Выразим