Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

168 Глава 3. Периодические решения в задачах

бо конечномерным вектором, либо элементом некоторого гильбертова пространства G. Наконец, обозначим через q = (gl,..., qn) laquo;собственные raquo; координаты возбудителя. Запишем кинетический потенциал системы в виде

L = L,{q,q,,0+L2iv,v). (3.1.1)

Если зависимость (t) известна, то уравнения движения должны давать возможность определить q{t) независимо от того, какова размерность вектора v и как изменяются во времени его отдельные компоненты. Поэтому вид Li{q,q,,) не должен зависеть от способа введения координат V, их числа и т.д., т.е. функция Li должна быть инвариантна к виду колебательной системы. Но если колебательная система задана, то ,..., могут быть выражены через компоненты вектора V. В случае, когда эта система линейна, должны быть линейными функционалами v и, следовательно, представляются скалярными произведениями вида

i = [v,Vi), г = 1,...,А:, (3.1.2)

где Vi - постоянные векторы или элементы того же пространства, что и V (может быть также, что Vi принадлежат более широкому пространству). Величины характеризуюш,ие laquo;обратное raquo; влияние колебаний на движение возбудителя, не обязаны, таким образом, принадлежать к числу обобш,енных координат системы; назовем их поэтому laquo;функционалами (или параметрами) обратного влияния raquo;. Выпишем уравнения Лагранжа

d dLi dLi

= R{q,q)+E{t),

dt dq dq

Mv + Bv + Cv = Y

(3.1.3)

QiVi.

Здесь

dtdii diJ

R отвечает непотенциальным силам в возбудителе, Е - заданным немеханическим воздействиям, М,В,С - квадратные матрицы или линейные операторы в G. В соответствии с физическим смыслом задачи далее будем считать М,В,С - симметричными, М, С - положительно-определенными, а матрицу (или оператор) В - положительной.

Из (3.1.3) видно, что векторы Vi описывают распределение создаваемых возбудителем сил по колебательной системе, а коэффициенты Qi перед Vi определяют величину сил. Условие, что Vi постоянны.

sect;3.1. Специальная форма записи 169

отвечает, помимо прочего, отнесению нагрузки к недеформированной колебательной системе. В отличие от величин механический смысл которых определяется заданием только возбудителя, векторы Vi будут определены лишь тогда, когда задана колебательная система.

Предположение о том, что колебательная система линейна, связано с предположением о малости ее перемегцений по сравнению с некоторым характерным размером. По это не означает, что можно линеаризовать но величины Qi и первые т уравнений (3.1.3), поскольку перемеш,ения могут быть сравнимы с характерными размерами возбудителя. Таковы, например, у пру го-линейные электромеханические системы. Если же перемеш,ения малы по сравнению с этими последними размерами, то задача все равно может оставаться нелинейной (с малым параметром, пропорциональным отношению неремеш,ения к характерному размеру). Сюда относятся, в частности, задачи о колебаниях, возбуждаемых враш,ением неуравновешенного ротора.

Исключив i из (3.1.3) с помогцью (3.1.2), для кдьждой конкретной колебательной системы можно получить уравнения движения, занисан-ные обычным образом через координаты. По в ряде случаев, основываясь на (3.1.3), можно рассмотреть целый класс систем. Пусть, например, уравнения (3.1.3) линейны. Тогда им соответствует лагранжиан

L = Li+L2,

m т к

Ll = - {nirsqrqs - Crsqrqs) + [dnqrii Kiqri),

г г (3.1.4)

Предполагая для простоты, что задаваемые силы гармонические, и учитывая трение, получим уравнения движения

{rrirsqs + brsqs + Crsqs) = UrSincot -\-Vr (r = 1,...,ш),

(3.1.5)

Mv + Bv + Cv = QiVi.

Здесь

Vr = - (rfrili + hriU), Qi = - YidnQr + hnQr). (3.1.6)

170 Глава 3. Периодические решения в задачах

Величины Vr можно ввести и в общем случае, неренисав первые т уравнений (3.1.3) в виде

Ьго = Ыч, g, С = О, = 0), V =--------.

Положив в (3.1.7) V = О, получим уравнения движения при заторможенной в состоянии равновесия колебательной системе. Следовательно, значения V до некоторой степени характеризуют обратное влияние колебаний на возбудитель. Величины V можно рассматривать также как обобщенные силы той же физической природы, что и задаваемые силы E{t). Назовем их поэтому laquo;полными обобщенными вибрационными силами raquo;. Такого рода величины вводятся, например, в задачах динамики систем с механическими возбудителями, где их средние за период значения называются вибрационными моментами [10].

Рассмотрим периодические периода 27г/ии решения системы (3.1.5). Ищем Qr в виде qr = sin(a;t - Sr). Внеся это в (3.1.6), можно найти Qi как функции а = (ai,..., а) и г = (si,..., бщ)

Qi = Qii{a,s)8m{ujt-M(,s)). (3.1.8)

Введем теперь в рассмотрение компоненты к- gt; О и щ- квадратных к X к матриц Ki и Ф1, определяемые следующим образом. Пусть известно 27г/а;-периодическое решение уравнения

Mij + Bv + Cv = Vi sincjt. (3.1.9)

Пайдем скалярные произведения {v\vj). Их амплитуды и фазовые углы и обозначаются через к[,

{v\vj) = к[ 8m{ujt - ф[). (3.1.10)

Величины кУ, ф[ определяются из решения задачи о вынужденных колебаниях колебательной системы под действием заданных гармонических сил и имеют следующий физический смысл. Предположим, что на систему действует гармоническая нагрузка частоты и с единичной амплитудой {Qi = 1), распределенная по колебательной системе так же, как часть развиваемой возбудителем нагрузки, соответствующая вектору Vi. Определим закон изменения во времени j-ro функционала обратного влияния при установившихся (чисто вынужденных) колебаниях под действием указанной нагрузки. Тогда амплитуда и угол

сдвига фаз между и нагрузкой будут равны соответственно кУ и