www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Нелинейная электромеханика
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [ 55 ] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
sect;3.1. Специальная форма записи 171
Для системы без трения величины к- представляют собой гармонические коэффициенты влияния; свойство взаимности этих величин к[ = к[, а также свойство = справедливо и для систем с трением.
Имея выражение (3.1.8), можно выразить функционалы обратного влияния через амплитуды а, углы г и величины к[, :
=Y,Qii{ci,s)k[hm{ujt - Mci.s) - (3.1.11)
Как функции тех же величин могут быть найдены из (3.1.6) амплитуды и фазы полных вибрационных сил
Vr = Vri(а,г, ii, Ф1) sm{ujt - 7,(а,г, ii, Ф1)). (3.1.12)
Внесем (3.1.12) в первые т уравнений (3.1.5). Это в принципе позволит найти зависимости qr = qr{t, а, г, ii, Ф1). Выделив затем амплитуды и фазы qr, придем к системе относительно ai,..., а, si,..., г-, из которой эти величины, вообгце говоря, могут быть найдены как функции компонент матриц Ki и Ф1. Используя (3.1.8), получим окончательно
а = a(ii, Ф1), г = e{K 4,),Qa = Qa{K 4,),i = MKui)-
(3.1.13)
Последняя группа этих соотношений позволяет определить вынужда-юш,ие нагрузки, как только будут известны матрицы Ki и Ф1. Таким образом, если для некоторого возбудителя составлены соотношения (3.1.13), то задача о колебаниях, возбуждаемых им в любой колебательной системе, сводится к определению матриц Ki и Ф1 и к использованию этих соотношений. Для составления же соотношений (3.1.13) нужно знать лишь часть лагранжиана Li, записанную через параметры обратного влияния.
Вместо амплитуд а и фаз г можно определить амплитуды синусных и косинусных состав ляюгцих; соответствуюгцие матрицы амплитуд составляюш,их нужно ввести тогда и для колебательной системы.
Рассмотрим теперь случай, когда уравнения движения содержат малый параметр р и приводятся к виду
тх = Х{х, t) + iiY{x, , , t, /i),
к (3.1.14)
Mv + Бг; + Ci; = Qi{x, x)vi + /i
Здесь X = {xi,...,Xp) - неизвестные, которые нужно ввести вместо qi, ,qm, чтобы записать уравнения в форме (3.1.14).
Уравнения указанного вида получаются в случае, когда переме-ш,ения в колебательной системе можно считать малыми порядка р по
172 Глава 3. Периодические решения в задачах
сравнению с характерным размером возбудителя. Таковы, в частности, системы с механическими возбудителями колебаний [51] и синхронизирующиеся системы [10]. Далее будет разобран также случай, когда уравнения (3.1.14) суть уравнения Рауса; он охватывает задачи о колебаниях под действием электромагнитов.
Функции X и Y будем считать 27г/с(;-нериодическими но t. Предположим также, что каждое из уравнений
Mv + Bv + Cv = cp{t)vi (3.1.15)
при любой непрерывной 27г/а;-периодической ip{t) допускает единственное 27г/а;-периодическое решение v\t) такое, что max(i;(,)(t),i;i)/max(p(t) lt;/i(),
где постоянная h одна для всех (р и h = 0(1). Это предположение соответствует так называемому laquo;нерезонансному raquo; случаю; о резонансном случае, когда h = 0(l i), см sect;3.4.
Порождающие решения (3.1.14) будем считать неизолированными. В случае изолированного порождающего решения влияние колебаний даст лишь малые поправки к переменным ж, найденным без учета вибрационных сил. Следовательно, обратное влияние колебаний на движение возбудителя в таком случае не может привести к качественным эффектам и в этом смысле малосущественно. Поэтому рассмотрим случай, когда система
x = X{x,t) (3.1.16)
допускает семейство 27г/а;-периодических решений х = xo{t,a), а = = ( laquo;1,..., an)j зависящих от п произвольных параметров. Пусть функции Xo(t, а) известны. Тогда известными функциями t, а будут и функции Qi{xo,xo). Известными функциями а можно считать также коэффициенты их разложений в ряды Фурье
Q. = J2QiA()08{iyujt-i{a)). (3.1.17)
Введем, как и ранее, матрицы гармонических коэффициентов влияния и фазовых сдвигов. В данном случае их нужно ввести для всех частот, входящих в (3.1.17). Обозначим эти матрицы через Kjfj а их компоненты - через kl, . Они определяются соотношениями
{vi,vj) = kl cos[vujt - ф\}), kl gt; о, (3.1.18)
где vi - 27г/г/а;-периодическое решение уравнения
Mvl + + С = Vi cos jyujt. (3.1.19)
Физический смысл матриц Kjy,4fjy при ф I тот же, что и матриц Ki,4fi, только к колебательной системе прикладывается единичная нагрузка с частотой не cj, а г/о;.
sect;3.1. Специальная форма записи 173
Теперь можно выписать выражения для функционалов обратного влияния в порождающем приближении, содержащих компоненты матриц Kj и величины laquo;1,..., как параметры
io = Е Е -( ) - - (3.1.20)
i V
Предположим еще, что известны периодические периода 2tt/uj решения zi,... ,Zn системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами, называемой системой сопряженной к системе уравнений в вариациях для порождающего решения
i + Zz = 0, Z =\\[dXsldxr)o\\ . (3.1.21)
Здесь Z - вектор той же размерности, что и ж, индекс нуль означает, что производные вычислены при ж = xq. Тогда и уравнения для определения laquo;1,..., можно записать так, чтобы они содержали в качестве параметров компоненты Kj Ф. Они имеют вид
Pr{ai,..., an, К, Ф) = ZrsYsoit, а, i, Ф)) = О, г = 1,..., п.
(3.1.22)
Здесь Yso{t,a, К,Ч[) = Fs(xo, о, о, , 0) - компоненты вектора F, а символы К, Ф, означают всю совокупность матриц Kjy, Ф.
Если из системы (3.1.22) найти ее решения а = а{К, Ф) как функции i, Ф и внести в предыдущие соотношения, то в порождающем приближении все искомые переменные определятся тоже как функции i, Ф. В частности, найдутся и вынуждающие силы Qi{t,K,4f). В результате определение колебаний, возбуждаемых каким-либо возбудителем, для которого составлены выражения для Qi в любой линейной колебательной системе, сводится к решению задач о вынужденных колебаниях и к использованию указанных выражений. В аналогичной форме через комноненты матриц К, Ф могут быть выражены элементы определителя \dPr/das\, а, следовательно, и условия устойчивости.
Соотношения, содержащие матрицы К, Ф, полезны еще и тем, что их можно использовать, когда уравнения движения колебательной системы неизвестны, а известны лишь эти матрицы, определенные, например, экспериментально.
В той же форме решение можно записать и тогда, когда система (3.1.14) автономна. В этом случае нужно знать зависимости K{vuj), {vuj) в некотором интервале значений uj. Кроме того, если система (3.1.14) близка к консервативной, то условия устойчивости содержат [96] не только K{iy,uj), Ф(г/а;), но и их производные по и.
Указанным способом в работах К.Ш. Ходжаева [95, 97, 99] записаны решения задач о колебаниях под действием электромагнитов, а в
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [ 55 ] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 |