www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

174 Глава 3. Периодические решения в задачах

[96] - задачи о синхронизации механических вибраторов. Для задачи о синхронизации тот же способ независимо предложил Л. Шперлинг [116], однако в его работах отсутствуют условия устойчивости второй группы, имеющиеся в [96].

sect; 3.2. Интегральный критерий устойчивости периодических движений систем с квазициклическими координатами

Составим уравнения, описывающие квазистационарные колебания электромеханических систем с замкнутыми линейными токами, не предполагая пока перемещения малыми:

ddW OF , .

dt dis dis

d дЬм дЬм dW

dt dqm+s oqm+s oqm+s Здесь ii,..., im - токи, F - laquo;электрическая raquo; диссипативная функция. El,..., Em - заданные 27г/а;-периодические ЭДС, qm+i, ,qn - обобщенные координаты, Lm - кинетический потенциал, Qm+i, ,Qn - непотенциальные обобщенные силы.

Для индуктивно связанных неразветвленных контуров

Будем считать, что F имеет тот же вид и в общем случае; этого можно добиться линейной заменой исходных токов.

Выразим энергию поля W через индуктивности и токи I

W = -Lrs{qrn+i, ,qn)isir- (3.2.3)

Пусть E,L и Л* - характерные значения соответственно ЭДС, индуктивности и сопротивления. Введем характерный ток i* = E/ujL и положим т = ujt. Перепигаем первые т уравнений в безразмерной форме

d

(Х lrsr]r + pPsr]s = е, S = 1,..., ш. (3.2.4)

Здесь Irs = Lrs/L,T]r = ir/i*, Ps = Rs/R*,es = Es/icuLJ), p = R/ll)L. Предполагая, что электрическая диссипация мала, т. е. при любых перемещениях характерные индуктивные иЬ активные Л* сопротивления связаны соотношением иЬ R, будет считать р малым пара-



sect;3.2. Интегральный критерий устойчивости 175

метром. При аналогичных предположениях рассматриваются системы с объемными проводниками. Кроме того, далее будет указан один специфический, но интересный для техники случай, когда достаточно предположить, что малы лишь некоторые Rg. Таким образом, уравнения (3.2.4) - это уравнения с малым параметром р. Допустим, что г]г, Qm+s найдены в виде рядов по степеням р. Вернемся в них к исходным, размерным неременным. Результат, очевидно, должен совпасть с тем, какой получится, если искать решение уравнений (3.2.1) в виде рядов по степеням Л*, считая условно величину R малой по сравнению с другими величинами любой размерности. Поэтому далее будем оперировать непосредственно с уравнениями (3.2.1), не вводя малого параметра р явно.

Осредняя первые т уравнений (3.2.1) за период и обозначая средние значения косыми скобками, получим

Rs{is) = (Es), (is) = is{t)dt, (3.2.5)

Отсюда следует, что постоянные составляюш,ие (Es) заданных ЭДС должны быть малы. Действительно, если (Eg) ~ L*, то {is)/i* /Р-Практически этому отвечают токи, примерно равные токам короткого замыкания при номинальном напряжении, формально же требуется иная процедура метода Пуанкаре. Естественно считать {Eg) малыми условно того же порядка, что и Rg] тогда будет (г) ~ г*. Это соответствует номинальным режимам работы электромеханических устройств.

Выразим пондеромоторные силы dW/dqm+r через магнитные потоки = dW/dir. Тогда уравнения (3.2.1) можно будет интегрировать но следуюш,ей схеме. Представим Eg в виде Eg = Ug + (Eg), {Ug) = 0. Отбрасывая в (3.2.1) малые члены и обозначая порождаю-ш,ее приближение индексом laquo;нуль raquo;, получим

Ф,о =ag + Vg{t), Vg = Ug, {Vg) = 0. (3.2.6)

Здесь ag - пока произвольные постоянные составляюш,ие магнитных потоков. Внесем (3.2.6) во вторую группу уравнений (3.2.1). Придем к уравнениям колебаний механической системы под действием сил, являюш,ихся известными функциями времени, механических координат и параметров ag. Пз них в принципе можно определить qrn-\-r как функции t и ag. Тем самым будет найдено семейство порождаюгцих решений, зависяш,ее от т параметров. Пз всех решений этого семейства нужно выбрать те, в которые при р = О обраш,аются периодические решения исходной системы (с малыми членами). Таким порождаю-



176 Глава 3. Периодические решения в задачах

щим решениям отвечают вполне определенные значения

В данном случае эти значения должны составлять решение системы

уравнений

Ps{ai,... ,ат) = {iso{ai,...,am)) - ics = О, s = 1,...,ш. (3.2.7)

Здесь is = д] /дФ8 - токи, рассматриваемые как функции магнитных потоков и механических координат, ics = {Es)/Rs- Каждому решению системы (3.2.7) отвечает при достаточно малых р периодическое решение системы (3.2.1). Выбрав одно из них и внеся значения laquo;1,..., am в (3.2.6) и в qm+so{t,OLi,... ,аш), iso(t, laquo;i,... , laquo;m), найдсм искомые переменные с точностью до членов порядка р] далее, если требуется, можно найти и малые члены. Составив производные dPg/dar, можно исследовать также и устойчивость рассматриваемого режима [62].

Однако применение описанной процедуры затрудняется тем, что уравнения для определения qm+so{i, ai,..., am) в общем случае нелинейны. Если они кусочно-линейны, то их решение можно искать методом припасовывания. Вообще же здесь следует использовать либо подходящие приближенные методы, либо численное интегрирование. Но таким путем, в особенности численно, затруднительно найти явные зависимости qm+sQ от Поэтому остается только задавать различные значения определять соответствующие каждому набору laquo;1,..., решения qm+si) и вычислять величины Pg, laquo;подбираясь raquo; с помощью изменения laquo;1,..., am к решению уравнений (3.2.7). Указанные вычисления упрощаются, если известно, что искомые значения laquo;1,..., am сообщают экстремум какой-либо функции A(ai,..., am) Действительно, в этом случае наборы laquo;1,..., am можно задать, основываясь на известных способах разыскания экстремума. Далее в настоящей главе указываются те случаи, когда функция Л существует, и устанавливается ее физический смысл. Так как уравнения (3.2.1) составляют частный случай уравнений механики с квазициклическими координатами, то будут рассмотрены последние более общие уравнения.

Связь между устойчивыми периодическими решениями системы с малым параметром и точками минимума некоторой скалярной функции Л аналитически впервые была установлена И.И. Блехманом для задач синхронизации [10]; соответствующий принцип был назван им laquo;интегральным критерием устойчивости raquo;. Этот результат был затем обобщен Р.Ф. Нагаевым, который рассмотрел [72] один класс систем, близких к консервативным (они были названы laquo;квазиконсервативными синхронизирующимися системами raquo;). Частные случаи задачи о синхронизации изучались с помощью интегрального критерия Б.П. Лавровым [55]. Перечисленные авторы полагают также, что интегральный



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118