www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;3.2. Интегральный критерий устойчивости 177

критерий представляет и самостоятельный интерес (независимо от его пользы при вычислениях), связывая это с физической наглядностью и тем обстоятельством, что Л можно составить, не выписывая полностью уравнения движения.

Интересно выяснить, какие егце системы допускают интегральный критерий. Как видно из его вывода [72, 98], для сугцествования интегрального критерия необходимо, чтобы уравнения с малым параметром имели структуру уравнений механики, а в порождающее приближение laquo;естественным raquo; образом входили произвольные постоянные. Но в механике имеются два основных класса систем, периодические движения которых образуют семейства, зависящие от произвольных постоянных - это консервативные системы (в этом случае произвольными параметрами являются начальные фазы и постоянные энергия или период) и системы с циклическими координатами (здесь параметры - циклические импульсы). Рассматриваемые далее системы с квазициклическими координатами составляют, таким образом, второй из двух наиболее естественных классов систем, для которых справедлив интегральный критерий.

Итак, рассмотрим систему с голономными стационарными связями, описываемую т квазициклическими {qi,q2, , qm) и п - т позиционными {qm-\-ij J qn) координатами, предполагая, что квазициклическим координатам отвечают обобщенные силы двух родов: малые силы вязкого трения и силы, зависящие только от времени; последние предполагаются 27г/а;-периодическими. Уравнения Лагранжа такой системы имеют вид

Ps + pbsqs = Us{t) + /lUcs, s = 1,..., ш,

- = iV+., . = 1,..., п - ш, (3.2.8)

dt dqm+s oqm+s

L = T{qm+i,.. .,qnAi,- --An) - n(g+i,.. .,qn).

Здесь Ps - квазициклические импульсы, (t/g) = О, Ucs = const, Nm+s - непотенциальные обобщенные силы, отвечающие позиционным координатам, L - кинетический потенциал системы, р - малый параметр. Можно положить /i gt; о, тогда 6 gt; 0. Более общий случай, когда laquo;квазициклические raquo; диссипативные силы задаются диссипативной функцией вида

F = -brsqAs

сводится к предыдущему линейной заменой только квазициклических координат.



178 Глава 3. Периодические решения в задачах

Рассмотрим уравнения Рауса, соответствующие (3.2.8)

Ps - llbs- = Us{t) + llUcs.S = 1,...,Ш,

. ,Т ,Т (3.2.9)

-nw-.---= Nm+s.s = 1,... ,n - ш,

dt dqm+s oqm+s

Здесь Lr - кинетический потенциал Рауса, связанный с функцией Лагранжа соотношением

Lr = L-Y,PsQs. (3.2.10)

в (3.2.9) Lr вносится как функция pi,.. . m+l, .., п, т+Ь .. qn. Если исходный лагранжиан L задан как функция qi,... ,qni и позиционных координат и скоростей, то для этого нужно выразить квазициклические скорости через импульсы и qm+i п, m+i,..., gn из линейных уравнений относительно qi,... ,qm дТ

w=Ps. s = l,...,m. (3.2.11)

При /i = О из (3.2.9) выделяется система т уравнений

p,o = U,{t), s = l,...,m, (3.2.12)

из которой с точностью до постоянных laquo;1,..., ащ определяются квазициклические импульсы в порождающем приближении

Pso =as + Vs{t), s = 1,..., ш. (3.2.13)

Здесь и далее первообразные Vg, Vg = Us, будем выбирать так, чтобы (Vs) = 0.

Внесем (3.2.13) в последние п - т уравнений (3.2.9). Получим уравнения относительно qm+so, в которые laquo;1,..., ащ входят как параметры. Будем предполагать, что эти уравнения при любых laquo;1,..., ащ из некоторой области А допускают устойчивое 27г/а;-периодическое изолированное (т.е. такое, в которое не входят новые постоянные) решение qm+so- Совокупность функций Pso{t, as),qm+so{t, laquo;1,..., laquo;m) составляют семейство порождающих решений. Внеся ро, m+so в малые члены первых т уравнений (3.2.9), из условий периодичности первых приближений (psi) к квазициклическим импульсам получим уравнения для определения постоянных laquo;1,..., ащ- В данном случае условия периодичности сводятся к требованию, чтобы малые члены после подстановки в них Ps = Pso, qm+s = qm+sQ НС содсржали постоянных составляющих. Придем к уравнениям

P,(ai,...,a ) =-(-\ -ics = 0, s = l,...,m. (3.2.14)



sect;3.2. Интегральный критерий устойчивости

Здесь ics = Ucs/bg.Пусть система (3.2.14) допускает решение as = as*j S = 1,..., ш, принадлежаш,ее А. Тогда отвечаюш,ий этому решению периодический режим будет устойчив, если корни Л,..., уравнения

- I -- л tbsOfs

(3.2.15)

имеют отрицательные вегцественные части, и неустойчив, если имеются ReX- gt; 0; случай нулевых и чисто мнимых корней не рассматривается. В (3.2.15) Ks = /bsArs - символ Кронекера. Выясним, когда выполняются соотношения

Ps = -

{Lr)o + 0 s = l,...,m. (3.2.16)

Интегрируя по частям, получим

dps /о ао

-Т[ dqrn+ro das

m+rO

Oqm+n

(3.2.17)

das deg; Wdt dqm+r dqm+r -I о das

Из уравнений Рауса следует, что соотношения (3.2.16) справедливы, если

dqm-\-rO \

das I

= 0,

s = 1,...,ш.

(3.2.18)

При этом точка (ai*,..., laquo;ш*) будет стационарной точкой функции

A(ai,... ,a) = -{Lr)o - yicsOis-

(3.2.19)

Кроме того, если условия (3.2.18) выполняются, то матрица dPr/as симметрична. По в этом случае собственные числа веш,ественны, а их знаки (при условии, что все k,s gt; 0) не зависят от того, каковы значения Ks. Следовательно, об устойчивости можно судить по знакам корней Al,..., уравнения

= 0.

(3.2.20)

Окончательно заключаем, что значения ai = ai*, ..., am = laquo;m*, отве-чаюш,ие устойчивому решению, сообш,ают функции A{ai,..., am) минимум.

Последнее утверждение представляет собой формулировку интегрального критерия устойчивости для систем рассматриваемого клас-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118