www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

180 Глава 3. Периодические решения в задачах

са. Критерий, очевидно, справедлив, если все обобщенные силы по позиционным координатам потенциальные. Однако от может выполняться и при наличии непотенциальных сил Am+s-

Пусть, например, Am+s представляются линейными формами обобщенных скоростей

7V +, = PrsQm+r, (3.2.21)

а Qm+s могут быть разложсны в ряды вида

где фазовые сдвиги о = = 1, гармоник (компонент) gm+so не зависят от laquo;1,..., otjn и одинаковы для всех gm+so, 5 = 1,..., п - ш. Тогда

п-т п-т

s s,k V

cosiuoot - if,)) = 0. (3.2.22)

Функции с одинаковыми фазовыми сдвигами компонент в их фурье-разложениях назовем покомпонентно-синфазными, а условия ю =

= ... = (plQ = - условиями покомпонентной синфазности. Предыдущее означает, что для существования интегрального критерия в случае, когда Njn-\-s - линейные формы g+i, - - - An, достаточно, чтобы фазовые сдвиги в разложениях позиционных координат, определенных в порождающем приближении, не зависели от laquo;1,..., am и эти координаты удовлетворяли условиям покомпонентной синфазности. Так как при этом не накладывается никаких условий на свойства коэффициентов Prs, то критерий справедлив в этом случае, в частности, если

Nm+s - силы вязкого ТрСНИЯ.

Указанный случай не имеет аналога в задачах о периодических движениях квазиконсервативных систем, так как там постоянные laquo;1 am суть фазовые сдвиги координат объектов [10, 72], входящие в решение в сочетаниях cjt + а, величины о ри этом обязательно зависят от laquo;1,..., am и интегральный критерий справедлив лишь при отсутствии диссипации в несущей (колебательной) системе [72].

Интегральный критерий справедлив и в случае, когда суммы в (3.2.18) являются производными некоторой функции по а, в частности, когда они не зависят от laquo;1,..., а; один такой случай будет указан в sect;3.5.



sect;3.2. Интегральный критерий устойчивости 181

Выпишем более детальное выражение для функции Л. Кинетическая энергия системы имеет вид Т = Ti + t/ + Т2, где Ti, Т2 - соответственно квадратичные формы квазициклических и позиционных обобш,енных скоростей, U - их билинейная форма. В этих обозначениях выражение для Lд запишется в виде Lr = Т2 - П - Ti = L2 - Ti . Следовательно, Л = (ri)o - (1/2)о - Ис, где

We = icrOir- (3.2.23)

Тот же вид функция Л сохранит и в случае, когда суммы в (3.2.23) суть величины i, не зависягцие от laquo;1,..., а; при этом нужно лишь заменить icr на icr - icr-

Порождаюш,ее приближение и вид функции Л не изменяются при добавлении любых членов вида р{...) в первые т уравнений (3.2.8) и любых членов порядка р в последние п - т уравнений. Наконец, зависимость {Lr)o от laquo;1,..., не изменится, если система приобретет к дополнительных степеней свободы, отвечаюш,их координатам qn-\-i,..., n+fe, таким, что выражение для Т записывается в форме

Г = Ti + t/ + Г2 + Гз, Гз = Гз(дп+ь .. jQu+kAn+ij-.. ,n+fe),

НС т п-т

1 = 2 Е rf fs, = Е Е агш+еМш+е. (3.2.24)

r,s Г S

Здесь ars, cir,m-\-s, как и ранее, зависят только от Qm+i, , п, 2 имеет прежний вид и

fr = 4г + y,nrjqn+j, rirj = const. (3.2.25)

Выясним, какой вид имеют в данном случае уравнения Рауса. Обозначим сумму в (3.2.23) через Qr. Имеем дТ/dqr = дТ/dfr и

Qr = qIHpIj jPmAm+lj AnQm+lj jQn) - 9r, (3.2.26)

где q - квазициклическая скорость в системе без дополнительных

/ .(0)

координат (т. е. также зависят от своих аргументов, как qr в прежней системе). Выражение для кинетического потенциала Рауса будет

Lr = -Ti{qr) + Ti{gr) + Г2(+,) + t/( q+s) + T3 - П. (3.2.27)

Здесь указаны (сокрагценным образом) только зависимости от обоб-ш,енных скоростей. Исключая из (3.2.27) qr с помош,ью (3.2.26) и используя тождество

т п-т т

Y drsqlPgs + YY1 sm+rqm+rgs = Pss, (3.2.28)



182 Глава 3. Периодические решения в задачах

получим

Lr = L\pi,. . . ,Рт, m+l, . --An, . , n)+ Pss+3. (3.2.29)

Здесь - кинетический потенциал Рауса для системы без дополнительных координат. Порождающие уравнения для pi,... ,Рт, qn имеют, следовательно, тот же вид и те же решения, что и для системы без дополнительных координат. Уравнения же, отвечающие дополнительным координатам, будут

d ВТ ВТ

Т. - = - Е rsPr + Nn+s, s = l,...,k. (3.2.30)

dt dqn+s dqn+s

В поро:щдающем приближении система (3.2.30) не содержит laquo;1,..., otm-Допустим, что при Рг - и г эта система допускает изолированное устойчивое решение, в котором д+ю,..., gn+feo суть 27г/а;-периодические функции времени. Тогда уравнения для определения laquo;1,..., ащ и условия устойчивости, а также функция Л будут отличаться от имевшихся в случае без дополнительных координат лишь значениями icr, которые заменятся на

Указанные выше результаты распространяются также на ротационные движения, т. е. такие, когда некоторые из позиционных координат изменяются по закону qm+s = oot -\- il){t), где 0(t) - 27г/а;-периодическая функция времени. Функции Т, П и Am+s должны быть при этом 27г-периодическими по соответствующим qm+s или содержать только их разности qm+s - qm+r-

В случае, когда позиционная подсистема линейна, интегральный критерий можно видоизменить. Уравнения Рауса, отвечающие позиционным координатам, будут

M, + C. = Q + N, g = sect;-. (3.2.31)

Здесь V = (gm+i,. ..,qn),N = (Am+ь , An), М, с - симметричные (п - ш) X (п - т) матрицы с постоянными компонентами. Обозначая скобками скалярные произведения, получим

L2 = \{Mv,v)-]{Cv,v). (3.2.32)

Возьмем уравнение (3.2.31) в порождающем приближении, умножим скалярно обе его части на dvo/dar и осредним за период. При условии.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118