www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;3.3. Энергетические соотношения 183

что (3.2.18) справедливо, это дает

((м. )).((с. )).((0 )). ,з...зз,

Продифференцируем теперь (3.2.31) по аг и умножим скалярно на vq. Получим

Ч(1:-) gt; = (Й-))Ч(5:-))-

(3.2.34)

Сложим соотношения (3.2.33) и (3.2.34) почленно и проинтегрируем но частям члены, содержаш,ие щ. Получим

-{L2)o = {Vn + Vq)o. (3.2.35)

даг даг

Входяш,ую сюда величину Vq = -l/2{{Q,v)) назовем вириалом сил воздействия квазициклической подсистемы на позиционную, а Удг = = -l/2{{N,v)) - вириалом непотенциальных обобш,енных сил. Используя (3.2.35), можно исключить (L2)o из выражения для Л и выразить Л через вириалы:

Л = (ri)o - Vqo - Vno - Wc. (3.2.36)

Если 7V + 1,..., TVn - линейные формы g+i, , q+n, a дш+ю, ,qnO - нокомпонентно-синфазные с независяш,ими от ai,..., фазами, то Vno = О (3.2.18) выполнено и

A = {T,)o-Vqo-Wc.

Кроме того, это представление полезно следуюш,им. В ряде случаев в задачах о возбуждении колебаний, как было указано выше, выражение для Ti удобно записывать так, чтобы в него входили не сами координаты i;, а некоторые линейные функционалы i = [v,Vi), vi = const. При этом зависимость Ti(j9, ) будет laquo;инвариантна raquo; к виду позиционной подсистемы. Если при этом Vno = О, то вид осредняемых функций в (3.2.36) как функций р, не будет зависеть от того, какова конкретно позиционная подсистема (но, конечно, вид (t, ai,..., am) от этого суш,ественно зависит).

sect; 3.3. Энергетические соотногнения

при колебаниях проводников с токами

Пусть дана система тел, включаюгцая т линейных проводников, к которым приложены заданные внешние 27г/а;-нериодические ЭДС. Рассмотрим случай, когда магнитное поле можно считать квазистационарным при частотах cj, ..., где г/* достаточно велико. (Вообш,е



184 Глава 3. Периодические решения в задачах

же последующее справедливо с точностью до высокочастотных laquo;хвостов raquo; искомых функций, начиная с некоторой гармоники г/* + 1. Это связано также с тем, что не учитываются динамические эффекты в веществе и т. п.) Связь между В и Н в веществе считаем линейной, а активные сопротивления проводников - малыми по сравнению с индуктивными на частоте со. Уравнения Лагранжа-Максвелла введенной системы будут иметь вид

+ fiRrir = Ur{t) + fiUcr, г = 1,..., ш,

dt dqm+r oqm+r где = g, г = 1,...,ш - токи в проводниках, qm+i, - - - ,qn - механические обобщенные координаты, координаты (заряды) qr - квазициклические. Здесь также введены обозначения для пондеромоторных сил

Qm+r = -W{ii,. . .,im,qm+l,- j qn) (3.3.2)

Oqrn-\-r

и потоков магнитной индукции через контуры проводников

Фг = Vr(ii,...,i,+i,...,n), (3.3.3)

W - энергия магнитного поля.

В (3.3.1) /ii? - активные сопротивления проводников, Ur и fiUrc - переменные и постоянные части внешних ЭДС соответственно (последние должны быть малыми, чтобы не иметь токов i = 0{1/fi) в установившемся режиме).

Параметры порождающего решения laquo;1,..., здесь имеют смысл постоянных составляющих магнитных потоков, подсчитанных с точностью до малых членов

Ф,о = laquo;г + Vr{t), Г = 1,..., ш. (3.3.4)

Величина

Wc = icrOLr, (3.3.5)

г=1

называется в данном случае энергией подмагничивания и имеет следующий смысл. Пусть все Ur = 0, а г-й контур пронизывается постоянным потоком аг. Тогда ток в г-м контуре будет ir = icr, а энергия этой системы постоянных токов (токов подмагничивания) в данном поле равна Wc (поле здесь рассматривается внешним по отношению к токам).

Соотношение (3.3.19) позволяет сформулировать следующее утверждение: если в системе нет непотенциальных механических сил или



sect;3.3. Энергетические соотношения 185

если все эти удовлетворяют условиям (3.3.18), то в устойчивом периодическом движении постоянные составляющие магнитных потоков (с точностью до малых величин) имеют значения, сообщающие минимум функции этих составляющих, равной среднему за период значению энергии магнитного поля, из которого вычтены среднее за период значение механического кинетического потенциала и энергии подмагничивания.

В случае, когда L2 отвечает линейной колебательной системе, в интегральном критерии механический кинетический потенциал может быть заменен согласно (3.3.35) на сумму вириалов непотенциальных механических и пондеромоторных сил.

Предположим еще, что вблизи указанных проводников расположены другие линейные проводники так, что если некоторая линия магнитной индукции охватывает laquo;первоначальный raquo; проводник, то она охватывает и всю расположенную вблизи него группу дополнительных проводников. Считаем, что сопротивления донолнительных проводников не малы (иначе токи были бы i = 0(l i)). Тогда заряды, переносимые через сечения дополнительных проводников, будут дополнительными координатами согласно sect; 3.2. Величины будут

Здесь lr - число дополнительных проводников, расположенных вблизи г-го первоначального, li -\- ... -\- 1т = Q ~ заряд, прошедший через сечение j-ro проводника г-й группы, Wrj - рациональные числа, определяемые так. Пусть контур г-го первоначального проводника п[ раз повторяет некоторую линию, а контур j-ro проводника - п- раз. Тогда Wjr = rSp/ni{r) (практически rSp - число витков).

Влияние дополнительных проводников на движение системы независимо от способа их соединения одного с другим, подведенных к ним ЭДС, типа подключенных к ним элементов (катушек, конденсаторов, выпрямителей и т. п.) сказывается только через величины icr, которые заменятся в выражении для Wc па

Так как всегда существуют линии индукции, охватывающие первоначальный контур, но не охватывающие дополнительные, то указанный вывод справедлив лишь при условии, что laquo;разницу raquo; можно описать членами порядка р в выражении для W. В первые т уравнений (3.3.1)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118