www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

186 Глава 3. Периодические решения в задачах

добавятся тогда члены вида . .)* и независимо от вида добавки в уравнения для механических координат порождающее решение не изменится.

sect; 3.4. Связь решений

в резонансном и нерезонансном случаях

Рассмотрим конечномерную систему

x = X{x,t)+nY{x,,it,),

г k , (3.4.1)

Mv + Bv + Cv = f J2Qi{x)vi +1Л... ,

отличающуюся от (3.1.14) скалярным множителем / перед правой частью уравнения движения колебательной системы. В нерезонансном случае / = 0(1) и этот множитель можно включить в Qi, как и ранее.

Кроме указанных в sect; 3.1 предположений, при изучении систем вида (3.4.1) применяются еще предположения, отвечающие так называемому резонансному случаю. Они состоят в следующем. Положим М = = Мо + SMi, О = Оо + aCi, В = Во -\- 7Б1 и рассмотрим уравнение

Mov + Cov = 0. (3.4.2)

Обозначим через его собственные числа, т.е. корни полинома Оо - АМо. В резонансном случае предполагается, что одно из чисел Хр = со, остальные собственные числа отличаются от величины исо, и - целое, на немалые величины, а величины 5, а, j, f - малые порядка р, причем S, а, 7 не равны нулю одновременно.

Опишем процедуру определения периодических решений в резонансном случае. Положим S = pSi, а = pai и т.д. Уравнения (3.4.1) примут вид

x = X{x,t)+fiY{x,,i,t,fi), (3.4.3)

Mov + Cov = /1

-SiMiv - jiBiv - aCiv + /1 Qi{x)vi + /i ...

В порождающем приближении x, v определяются независимо. Предположим для простоты, что собственному числу X = со отвечает один собственный вектор и обозначим его через уУ хотя со не обязательно первое собственное число. Порождающее решение будет

X = xo{t,ai,... ,ап),

(3.4.4)

V = vo{t, Ai,A2) = {Al cos cot + A2 smcot)v-\



sect;3.4. Связь решений 187

Оно содержит уже не п, а п + 2 постоянные laquo;1,..., а, 1,2- Уравнения для их определения имеют вид

Pr{ai,...,an,Ai,A2) = () = г = 1,...,п, Рп+Лаи,АА) = A,{{a,Ci - uj4,M,)v\v) +

+j,A2{B,v\v) - л Qii cosi,{vi,v) = О, (3.4.5)

Рп+2 ( laquo;1,..., laquo;п, Al, 2) = -71 Al (5ii;(i), ) +

+A2((ai(7i -c4Mi)i;(i),i;(i)) -/iQ.i sini9,i(i; ) = 0.

Здесь - те же функции, что и в (3.1.21), Уо = (жо, о-о, , 0), го = (0,г), Qiiii - амплитуда и фаза первой гармоники Qi{t) (см. 3.1.17). Последние два уравнения (3.4.5) имеют следующий смысл. Внесем порождающее приближение в члены порядка р второго уравнения (3.4.3), разложим результат в ряд Фурье и найдем векторы Vc - коэффициенты при cosoot и sincjt. Рассматриваемые уравнения выражают условие ортогональности Vc и Vg к v\

Если уравнения (3.4.5) разрешимы, то из них в принципе можно найти laquo;1,...,, Ai,A2, что позволит определить порождающее решение, исследовать устойчивость и т.д. При аналогичных предположениях можно искать и периодические решения автономных систем.

Вообще говоря, для каждого возбудителя нужно изучить как нерезонансный, так и резонансный случаи. Оба эти случая рассматривались, в частности, в задачах о колебаниях иод действием механических возбудителей [10, 51]. Можно, однако, показать, что нерезонансное решение более общее и резонансное получается из нерезонансного.

Назовем область пространства параметров резонансной или нерезонансной, если в ней справедливы предположения, отвечающие соответственно резонансному или нерезонансному случаю. В нерезонансной области для определения laquo;1,..., имеем уравнения

Рг{аи. ..,ап, fKo, /ii, Фь ...) = О, г = 1,..., п, (3.4.6)

нетрудно видеть, что матрицы Kj, и параметр / входят в них лишь в виде произведений fKj. Матрицы Kj существуют и в точках резонансной области, только здесь Ki = 0(l i), fKjy = 0(/i), г/ 7 1. Но в обеих областях fKi = 0(1). Таким образом, уравнения (3.4.6) могут быть записаны и для резонансной области. Возьмем точку в этой области и составим уравнения (3.4.6). С другой стороны, составим для той же



188 Глава 3. Периодические решения в задачах

точки уравнения (3.4.5), выразим из последних двух уравнений АА через laquo;1,..., и внесем результаты в первые п уравнений. Покажем, что получившиеся уравнения относительно laquo;1,..., с точностью до величин порядка р совпадают с уравнениями (3.4.6).

Рассмотрим с этой целью уравнение для определения в нерезонансном случае

Мщ + Вщ + Cvo = fQi{xo{t,a))vi. (3.4.7)

Пайдя отсюда vq, внеся его в У(жо, о, о, , 0) и осреднив, получим уравнения (3.4.6), отвечаюш,ие данным М,В и С.

Матрицы (7о,Мо, как и матрицы С, М в обш,ем случае, следует считать положительно-определенными. Поэтому собственные векторы v уравнения {С - \M)v = О образуют базис в пространстве конфигураций колебательной системы. Это позволяет искать решение уравнения (3.4.7) в виде

i;o = {Ср cos vujt + Dp sin vujt)vP. (3.4.8)

V p

Для определения CjpDjp получим уравнения

((С - z/cjM)!;), v)C,p + vuj{BvP, v)D,p = p

= fJ2Qi,smiAvi,v), K=l,2,....

(3.4.9)

Уравнения (3.4.9) благодаря условию, что Si,ai,ji не равны нулю одновременно, разрешимы и в резонансной области. Выясним, какой вид они при этом имеют. Пусть и ф 1. Предполагая v ортонормирован-ными: (Moi;i;) = Sp, получим

(Л, - iyuj)C + ((,(7i - iyuj4Mvp\v)C,p+ р

vuj-fi{BvP, v)D,p = /i/i Qi, cosi,{vi, ), (3.4.10)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118