www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [ 61 ] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;3.4. Связь решений 189

Отсюда видно, что все Cjy,Djyf = 0{р),1У ф 1. Полагая же г/ = 1, будем иметь

+vuj-fi{Bvp\v)Dip = /i/i Qii co8ii{vi,v), (3.4.11)

Выпишем уравнение, отвечаюгцее к: = 1: p

-Л co8n{vi,v) + /i... = 0. (3.4.12)

Если обозначить здесь Сц = AiDn = А2, то (3.4.12) с точностью до членов порядка р совпадает с п + 1 уравнением (3.4.5). Аналогично, второе уравнение (3.4.11) при к: = 1 совпадет с п + 2 уравнением (3.4.5). Поэтому зависимости Сц {ai,..., а), Dii ( lt;i, , lt;n), пайден-ные из (3.4.9), с точностью до величин 0(/i) совпадут с зависимостями Ai{ai,..., laquo;п), Di{ai,..., а), найденными из последних двух уравнений (3.4.5). С той же точностью функции Pr( lt;i, , lt;п), получаю-гциеся после подстановки решения (3.4.8), найденного для выбранной точки резонансной области, в и осреднения, т.е. функции Р, найденные для резонансной области с помош,ью нерезонансной процедуры, совпадут с функциями Pr( lt;i, , lt;п), получаюш,имися для той же точки после исключения Ai,A2 из (3.4.5). Если же \dPr/das\ 7 О, то и laquo;1,..., laquo;п, определенные из (3.4.6) и (3.4.5), будут отличаться на величины порядка fi. По последнее означает, что резонансное порождаюш,ее решение может быть получено из нерезонансного и что нерезонансным решением можно пользоваться в резонансной области.

Сделанный вывод справедлив и в случаях, когда корни кратные, когда имеются корни Хр = исо, и ф 1 и т. д.

Таким образом, если интересоваться только порождаюгцим решением, то особое рассмотрение резонансного случая излишне.

Это, однако, не распространяется на условия устойчивости. По в задачах о колебаниях, возбуждаемых враш,аюш,имся неуравновешенным телом, при схематизации вибратора как объекта, близкого к кон-



190 Глава 3. Периодические решения в задачах

сервативному, и условия устойчивости в нерезонансном случае [72] совпадают с условиями устойчивости в резонансном (последние получены В.О. Кононенко [51] асимптотическим методом).

Если же, наоборот, использовать резонансное решение в нерезонансной области, то результат совпадет с тем, какой получится, если отбросить в (3.4.8) все гармоники, кроме первой и все формы, кроме v-\ Это часто вполне допустимо. Резонансные предположения позволяют в принципе решить задачу и тогда, когда уравнение (3.4.7) нелинейно, т. е. когда нелинейна колебательная система или Qi зависят от . В этом случае использование резонансного решения в нерезонансной области эквивалентно применению для решения уравнения (3.4.7) метода гармонического баланса.

sect; 3.5. Уравнения Рауса,

линейные но позиционным координатам

Даже если кинетический потенциал L2 отвечает линейной системе, уравнения для определения позиционных координат в порождаю-ш,ем приближении будут, вообш,е говоря, нелинейны в силу зависимости воздействий Q от позиционных координат. Имеются, однако, два случая, когда получаются линейные уравнения. Структура функции Рауса R = L -\- и при стационарных связях такова [61]:

п-т

~ 2 (m+rm+s~l~ r,s=l

п-т т т

-Djn-rm-\-s)Qm-\-rQm-\-s + Dm+rsPs4m+r ~ Е! PrPs,

г=1 s=l r,s=l

=Л. ir)- (3-5.1)

Выражения для сил воздействия квазициклической подсистемы на позиционную будут

, п-т п-т rj П П Cl-lm-\-im-\-s . Чт+г - ~~П 2- Jm-\-rm-\-sQm-\-s + --Qm+iQm+s -

т п-т rsj rsj т

-PiPs

2 iTl +

(r = l,...,n-m). (3.5.2)



?3.5. Уравнения Рауса 191

Имея в виду получить в порождающем приближении линейные уравнения для позиционных координат, будем считать непотенциальные силы но позиционным координатам линейными формами Qm+l, An с постоянными коэффициентами. Из (3.5.2) следует, что здесь возможны два случая.

1. Квазигармоническая порождающая система. Квазигармонические уравнения (т. е. линейные уравнения с периодическими коэффициентами) получатся, если Dm+rm+s = const (г, S = 1,...,п - ш), Dm+rs{r = 1,...,п - m,s = 1,...,ш) - суммы постоянных величин и линейных форм, а A\r,s = 1,...,ш) - суммы постоянных величин, линейных и квадратичных форм позиционных координат. При этом постоянные слагаемые в А не влияют на вид Qr, а второй член в правой части (3.5.2) исчезает. Система порождающих уравнений будет неоднородной, если выполняется хотя бы одно из двух условий: 1) Dm-\-r,s содержат постоянные слагаемые, 2) А* содержат линейные члены, и однородной, если все Dm+r,s - линейные формы, а А* имеют вид: постоянная + квадратичная форма.

Отметим здесь один специфический под случай. Пусть в выражении кинетической энергии отсутствуют произведения квазициклических и позиционных скоростей {U = 0). Тогда все Dm+rs = О, Dm+rm+s = 0. Пусть К тому жс А НС содсржат линейных членов. Разбив Ti на энергию квазициклической подсистемы при заторможенной позиционной - Ti и laquo;дополнительную raquo; энергию - ATi:

Ti = Ti* + АГь = - ArprPs,

2 r,=l

(3.5.3)

где да* - квадратичные формы qm+r, получим

Vq = Ti. (3.5.4)

Функция л при этом имеет вид

Л = (ТП -Vq- Wc. (3.5.5)

Если к тому же Vqq = О, то функция Л будет иметь тот же вид, какой она имеет при q+i,... Qn = О, т.е. при заторможенной позиционной подсистеме. В этом случае, следовательно, позиционная подсистема с точностью до малых членов не влияет на движение циклической (но движения нозиционной подсистемы существенно зависят от квазициклической). В задачах о возбуждении колебаний это означает, что обратное влияние колебаний на возбудитель несущественно, несмотря на наличие семейства порождающих регаений и существенность малых членов, зависящих от позиционных координат.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [ 61 ] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118