www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

?3.5. Уравнения Рауса 195

При покомпонентно синфазных Ug (t) интегральный критерий оказывается справедливым за счет того, что в порождающем приближении непотенциальные силы по позиционным координатам удовлетворяют соотношениям

где i отличны от нуля, но не зависят от laquo;1,..., а- Действительно, вынуждающие силы

к к т

YQioVi = -Y.Y.rs[ras + 2ar Vs,. cos{iyujt-d) + VrV,

г г r,s и,ифО

(3.5.20)

вызывают колебания вида vq = Vc -\- Vg -\- V:, где Vc - величина постоянная во времени, Vg представляется разложением

= cosiuuot - д) + v m{vujt - д), (3.5.21)

причем v - линейные формы laquo;1,..., am вида = Lj,{a)v}, a i;* не зависит от ai,..., am- Поэтому

((- ё:) gt; = (К--)-.ё-) gt;-

По так как производные не содержат постоянной составляющей, а Vjy не зависит от laquo;1,..., а, то

Окончательно имеем

((- raquo; :) gt; = ((--1) gt;-

Очевидно, что величина в правой части (3.5.24) не зависит от laquo;1,..., am- Укажем специфические для рассматриваемого случая формы интегрального критерия. Представим кинетическую энергию возбудителя в виде Ti = Те + AT, где Те - энергия при = О, т. е. при заторможенной в недеформированном состоянии колебательной системе, AT - laquo;дополнительная raquo; энергия

т т к

= 2 Е rsPrPs, = 2 Е Е ikiPrPs- (3.5.25)

В силу линейности AT но i вириал вынуждающих сил связан с дополнительной энергией возбудителя соотношением

Vq = i(AT). (3.5.26)



196 Глава 3. Периодические решения в задачах

Интегрируя но частям, получим

{{Bvo,vo)) = -{{Bvo,vo)). (3.5.27)

Но матрица (или оператор) В симметрична. Поэтому

-{{Bvovo)) = -{{Bvovo)), {{Bvovo)) = О, (3.5.28)

т. е. вириал Vn непотенциальных сил в колебательной системе в случае, когда эти силы суть силы вязкого трения, обращается в нуль. Исходя из соотногаения (3.2.27) sect; 3.2, придем к выражению для Л

Л = (Те)о + -(АТ)о - Wc, Wc = Yiicr - ic gt;r- (3.5.29)

Используя же полную кинетическую энергию Ti, получим

A = (Ti)o-(Ar)o-Wc. (3.5.30)

Вместе с наиболее общим представлением функции Л через осреднен-ный кинетический потенциал Рауса или кинетический потенциал колебательной системы

A = {Ti)o-{L2)o-Wc (3.5.31)

выражения (3.5.29), (3.5.30) дают три формы интегрального критерия, в каждой из которых используются по две из четырех функций Гь Те, АГ, L2.

Из (3.5.30), (3.5.31) следует, что (L2)o = 1/2(АГ)о. Умножив уравнение движения колебательной системы на v скалярно и осреднив за период, можно получить более общее соотногаение (L2) = 1/2(АГ). Приведем явное выражение для функции Л. Она представляется сейчас суммой формы четвертой степени, квадратичной и линейной форм laquo;1,... ,ат, а также может содержать произвольное слагаемое, не зависящее от laquo;1,..., am- Если определять Л в соответствии с (3.5.29) - (3.5.31), то это слагаемое Л отлично от нуля. Имеем, следовательно,

т т

Л=- arsuzOrOsOuOz + arsaras ~ (icr ~ icr)r + Л.

r,s,u,z r,s г

(3.5.32)

Для вычисления коэффициентов arsuz, ctrs не обязательно использовать их представление через коэффициенты Фурье. Можно, например, исходить из следующего способа записи. Введем матричную импульсно-частотную характеристику колебательной системы K{t) = = II Kij(t) II, г, j = 1,..., /;:, определяемую следующим образом. Пусть на колебательную систему действует одна 2тт/а;-периодическая нагрузка вида f{t)vj. Тогда закон изменения во времени функционала при



?3.5. Уравнения Рауса 197

установившихся (чисто вьшужденных) колебаниях может быть записан в виде

27г/ш

Ш = I Kij{t-T)f{T)dT, (3.5.33)

где Kij не зависит от того, какова 27г/а;-периодическая /(t). Это позволяет переписать (3.5.10) в форме

27г/ио

io = E / Kij{t-T)Qio{r)dT, (3.5.34)

о

а выражение для (AT)о - в форме

, 27г/ш 27г/ш 2 л р

{АТ)о = -У2 j j dTQjo{t)Kij{t-T)Qio{r). (3.5.35) о о

Прежние выражения получаются отсюда с помош,ью соотношения

Kij{t) = к + 2 4) cos(z/cjt - (3.5.36)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118