www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

}4.б. Колебания частоты

Здесь

= 1{н(а-

cos cot

(4.6.2)

Я,Г7 1


остальные обозначения соответствуют sect; sect;4.1, 4.2, только у ai, ац, Ъц опущены индексы (в результате величинам ахацЪц отвечают теперь а, ai, Ъ). Кривая р{а) laquo;похожа raquo; на кривую Н{В); в частности, р{а) при а gt;0 выпукла вниз, р (0) = О, р (- laquo;) = -р ( laquo;) (рис. 4.15).

Отвечающий некоторому решению а = а уравнения (4.6.1) режим будет устойчив, если при а = выполняется неравенство dP/da gt; 0. Если магнит и якорь неподвижны, то уравнение (4.5.1) принимает вид

Р{а)=р{а) + =0 (4.6.3) Роо

и допускает единственное (очевидно устойчивое) решение а = 0. При этом электромагнитная сила имеет частоту 2uj.

Пспользование уравнения (4.6.3) при наличии колебаний эквивалентно пренебрежению взаимодействия магнита с колебательной системой.

Таким образом, в системах, где мож- Fuc. 4.15

но пренебречь либо нелинейностью зависимости В{Н), либо взаимодействием, механические колебания частоты и при синусоидальной внешней ЭДС невозможны.

Рассмотрим уравнение (4.6.1). Пусть

р[) + а - 6 lt; О, pq = {dp/da)a=0 (4.6.4)

Тогда решение а = О, которое в любом случае имеет уравнение (4.5.1), неустойчиво. По определению, р{а), начиная с некоторых значений а, возрастает очень быстро (область насыщения), так что (4.6.1) заведомо имеет еще решения а ф 0. Соответствующие режимы, однако, могут быть нереализуемы из-за того, что нарушается условие dB/dH ро или условие отсутствия соударений min(t) gt; -h. Приведем поэтому пример выбора параметров, когда для отличных от нуля корней уравнения (4.5.1) эти условия будут выполнены.

Отметим на кривой В{Н) участок, который можно считать прямолинейным, и участок, где заметно ее отличие от прямой, но dB/dH /io; пусть Bp, Вт - верхние границы участков. Обозначим Фр = = BpS, Фт = BmS. Па кривой р{а) также можно выделить прямолинейный и криволинейный участки, причем первый тем laquo;короче raquo;, чем больше U/nu; при U/nu = Фр прямолинейный участок на р{а)



Глава 4. Колебания электромагнитов

исчезает. Выберем и/пии = Фр и придадим механическим параметрам такие значения, чтобы выполнялось неравенство (4.6.4) и было р - - apQ gt; aia при всех а gt; 0. График Р{а) в этом случае представлен штриховой линией на рис. 4.16, а.

Изменяя параметры так, чтобы величина Pq = pQ-\-a - b lt; О принимала все меньшие по модулю значения, получим сколь угодно малые по модулю ненулевые корни уравнения Р{а) = 0. Поэтому условие \а\ -\-U/nuj lt; Фт для этих корней может быть выполнено.

Условие (4.6.4) требует, чтобы величина ki cos-01 была достаточно велика. Последнее возможно, главным образом, когда uj близка к одной из собственных частот колебательной системы. При этом ki к2 и амплитуда {t) laquo;почти raquo; пропорциональна \а\. Отсюда следует, что при уменьшении \а\ условие min(t) gt; -h также может быть выполнено.



Рис. 4.16

Согласно рис. 4.16, а, ненулевым корням в рассматриваемом случае отвечают устойчивые режимы. При принятых выше условияхРо + -\- а - Ъ lt; 0,р - gt; aia такие режимы можно описать, исходя из наиболее простой аппроксимации В{Н). Примем, как это часто делается.

Тогда

- iw- -

Г 2/1

= {рз - ai)a + (а - 6 +

(4.6.5)

\-Pob Ро

I /2/i:icos0i ко 37 4

Колебаниям частоты и отвечают значения


а. (4.6.6)

(4.6.7)




sect;4.6. Колебания частоты 227

Следовательно, они существуют и устойчивы, когда рз - сц gt; О, а - b -\- Pq lt; О, причем имеются два режима такого рода, отличающиеся знаком а.

В (4.6.6) выделена зависимость коэффициента при а от U, чтобы можно было проследить за развитием колебаний при изменении напряжения. Рассмотрим случай, когда коэффициент при U положителен и Рз - а gt; 0. При малых U устойчивы колебания удвоенной частоты, отвечающие корню а = 0. При некотором и = будет достигнуто равенство а - Ъ -\- pq = О, решение а = О станет неустойчивым, а устойчивость перейдет к рождающимся при U = ненулевым решениям. При дальнейшем увеличении U будут возбуждаться колебания частоты UJ (рис. 4.17, где А = = max 11), амплитуда которых непрерыв- Рис. 4.17

но возрастает при повышении напряжения вплоть до возникновения соударений. Этому отвечает переход со штриховой кривой рис. 4.16, на штриховую кривую рис. 4.16, а.

Для сравнения на рис. 4.16, а проведен (сплошной линией) график Р{а) для случая, когда магнитная нелинейность мала и рз lt; ai. Тогда при повышении напряжения система laquo;переходит raquo; со сплошной кривой (рис. 4.16, б) на сплошную кривую (рис. 4.16, а). При этом колебания удвоенной частоты срываются (теряют устойчивость), после чего устойчивые колебания без соударений невозможны, как в магнитно-линейном случае.

За счет отличия Н{В) от полинома третьей степени устойчивые нетривиальные решения можно получить и в иных областях пространства параметров. Исходя, например, из представления

Н{В) = B/fic + iB + гВ\ (4.6.8)

будем иметь

Р{а) = ра + {рз-а- 1)а + (а - 6 + Ро)а,

]7 Is и

S Snu (4.6.9)

I 3l-f и 15 Is

PcS 2Snuj 8 SnW При Рз - ai gt; 0 получим, очевидно, тот же процесс развития колебаний, что и ранее. По если рз - сц lt; О в некотором интервале изменения и, а коэффициент при а в (4.6.9) убывает с ростом U, то возможно



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118