www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

?4.7. Колебания в системах

что теперь возможно, будем иметь b-a-pQ

lib-a-pQ 1 = т:

Рз - dl 2b

0i\0i2 - -

2ai - Рз

nl/2

2 L рз-ai 2ai - рз J

lb-a-p a2 = plusmn;-

Irb-a-pQ 2

Рз - Cil

11/2

2ai - Рз

(4.7.7)

(4.7.

2 L рз-ai 2ai - рз i

b-a-pQ 2b iV2

2 L рз-ai 2ai - рз i Четыре возможные комбинации знаков в (4.7.8) дают четыре несимметричных решения системы (4.7.6). Все они сухцествуют или не су-хцествуют одновременно; условие сухцествования записывается в виде

Рз - dl

gt;

2а-1-рз

(4.7.9)

Из одного решения можно получить остальные три, если переставить в нем знаки или поменять местами laquo;1 и laquo;2- Поэтому механические колебания в разных режимах будут отличаться лишь знаком постоянной составляюхцей или сдвигом на тг фазы первой гармоники.

Выпишем уравнение (4.7.3). Используя при этом (4.7.7), получим

А(Л) = ЛЧрз

Ь-а-р

X + 2{p3-ai){2ai-p3){ai-aiy = 0. (4.7.10)

Рз - сц

Рассматриваемые режимы асимптотически устойчивы, если коэффициенты уравнения (4.7.10) положительны и неустойчивы, если хотя бы один коэффициент отрицателен.

Из (4.7.9) следует, что если режим сухцествует, то коэффициент при Л непременно положителен. Обратившись к свободному члену, найдем условие устойчивости ai lt; рз lt; 2ai. По при этом должно быть b - - а - Pq gt; 0. Отсюда b gt; О и условие сухцествования (4.7.9) примет вид

b{4ai - Зрз) gt; (2ai - рз){а + р). (4.7.11)

Следовательно, устойчивые несимметричные режимы возможны при 3/4рз lt; ai lt;рз.

Условие Ь - а - Pq gt; О влечет условие рд + а - 26 lt;0, т. е. и устойчивые несимметричные режимы, и нетривиальные симметричные возможны лишь, если положение механического равновесия неустойчиво.

Проследим за развитием колебаний при увеличении напряжения питания и (это эквивалентно увеличению \Ь\). Выпишем при принятой



Глава 4. Колебания электромагнитов

аппроксимации петривиальные симметричные решения

\2Ъ-а-р Рз

(4.7.12)

и условия их суш,ествования и устойчивости, получаюш,иеся из (4.7.5),

2Ь-а-ро gt;0, K4ai -Зрз) lt; (2а - 1 - рз)(а + р[)). (4.7.13)

При 6 lt;0, т.е. при cos-01 lt; О, устойчиво только тривиальное решение. Пусть Ь gt;0. Возможны три подслучая: ai gt;рз, ai lt;p3 lt;4/3ai, 4/3ai lt;рз. В первом из низ U lt; t/*, где t/* таково, что 6 = 6* = 1/2(а + + j9q), устойчив тривиальный режим. При U = достигается точка бифуркации, в которой рождаются два нетривиальных симметричных режима, отличаюш,ихся знаком а. Устойчивость переходит к этим последним режимам и сохраняется до t/ = t/**, где t/** таково, что

2ai - рз

6 = 6** =

( laquo;+Ро).

(4.7.14)

4ai - Зрз

Амплитуда колебаний при увеличении U от t/* до t/** возрастает от нуля. При t/ gt; t/** устойчивые колебания невозможны (рис. 4.21, а).




Рис. 4.21

Более интересен под случай ai lt; рз lt; 4/3ai. При U lt;U колебания развиваются как и ранее, но при U = U достигается еш,е одна точка бифуркации, в которой рождаются четыре устойчивых несимметричных режима. Симметричный режим теряет при этом устойчивость и система переходит на один из несимметричных режимов. В точке бифуркации значения laquo;1,2 в (4.7.8) отличаются только знаком и совпадают с их значениями в (4.7.12). При переходе из возможных несимметричных решений будет laquo;отобрано raquo; решение с тем набором знаков ai,a2, какой был у предшествуюгцего симметричного. Этим обеспечивается согласование фаз колебаний до и после точки бифуркации. В результате и постоянная составляюш,ая, равная нулю в симметричном режиме, и первая гармоника колебаний будут изменяться непрерывно. При дальнейшем увеличении U несимметричный режим



sect;4.7. Колебания в системах 233

остается устойчивым, а амплитуда растет пока пе возникнут соударения (рис. 4.21, б).

В третьем подслучае при U lt;U снова имеем только устойчивый тривиальный режим. При t/ = t/* он передает устойчивость рождающимся нетривиальным симметричным режимам, которые остаются устойчивыми при дальнейшем увеличении U (рис. 4.21, в).

Таким образом, в рассматриваемых системах сочетание laquo;взаимодействие плюс нелинейность в ферромагнетике raquo;, во-первых, порождает новые симметричные режимы, во-вторых, при ai lt; рз lt; 4/3ai приводит к установлению несимметричных режимов. По последние характеризуются несимметричным (относительно плоскости симметрии С, рис. 4.19) распределением электрических и механических переменных в пространстве. Примечательно, что это возможно в первоначально электрически и механически симметричных системах.

Для определения потоков, сил и колебаний требуется только зависимость р{а). Поэтому предыдущее справедливо и для ферромагнетиков с существенно выраженным гистерезисом, если характер р{а) остается прежним. При этом, однако, существенно изменятся токи в обмотках с малым сопротивлением. То же относится и к влиянию токов Фуко в ферромагнетике. Если учитывать их, будем иметь систему, содержащую помимо упоминавшихся ранее линейных проводников некоторое количество объемных (массивных) проводников. Разложим, следуя [73], плотность тока в них в ряды но соответствующим функциям пространственных координат и введем счетное множество токов. В результате получим, что к рассматриваемым выше уравнениям добавится бесконечная, но счетная, группа уравнений вида

UFs + RfsIfs = 0, s = 1, 2,..., (4.7.15)

где токи iFs связаны с потоком соотношениями, аналогичными составленным ранее для линейных проводников. Величины Rps в (4.7.15) естественно считать немалыми. Тогда в порождающем приближении по известному значению Ф найдутся токи Фуко ips- Они не будут, следовательно, содержать постоянной составляющей и не повлияют на а, силы и колебания.

При технических расчетах токи Фуко, по-видимому, можно учесть достаточно точно, предположив условно, что электромагнит имеет еще одну обмотку, описываемую уравнением

прФТКргр = 0. (4.7.16)

Здесь ni? и - эквивалентное число витков и сопротивление, которые, вообще говоря, должны быть определены экспериментально. При определении тока в обмотке с малым сопротивлением iр учитывается так же, как и остальные токи.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118