www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

Глава 4. Колебания электромагнитов

sect; 4.8. О колебаниях в системе с ударами

и влиянии механических нелинейностей

Если колебательная система нелинейна, то функции Pr{pi\, , laquo;m) не удается записать в явном виде, как это было сделано ранее для линейных систем с помощью коэффициентов влияния. Поэтому системы с различными нелинейностями и разным числом степеней свободы придется рассматривать порознь. В результате возникает большое число задач о колебаниях, возбуждаемых электромагнитами в нелинейных механических системах. Далее приводится решение одной из задач такого рода (оно получено совместно с М.М. Ветюковым [24]).

Рассмотрим упруго закрепленное твердое тело, перемещения которого в обоих направлениях ограничены двумя симметрично расположенными упорами; при колебаниях тело соударяется с ними. Па тело действуют силы притяжения двух также симметрично расположенных одинаковых электромагнитов (рис. 4.22).

Предположим, что к магнитам приложена синусоидальная ЭДС t/sincjt, а магнитная нелинейность несущественна. Покажем, что и в этом случае возможны устойчивые механические колебания частоты UJ (за счет ударов).

Ограничимся тем случаем, когда упруго закрепленное тело можно рассматривать как систему с одной степенью свободы. Тогда будет единственной механической координатой. Трение в колебательной системе не учитываем. Будем предполагать, что для описания удара достаточно ввести коэффициент восстановления скорости R. При этом соотношение, связывающее скорость до удара со скоростью + после него, запишется в виде + = -R-, О lt; R lt; 1. Ограничимся также разысканием 27г/с(;-периодических режимов только одного типа. Именно, будем искать режимы, когда ai = - laquo;2, за период происходит два удара сначала об один, затем о другой упор и скорость тела перед ударом о первый упор равна по величине и противоположна по направлению скорости перед ударом о второй. Искомые режимы, следовательно, симметричны в указанном ранее смысле; кроме того, они симметричны во времени (относительно момента, лежащего laquo;посередине raquo; между ударами).

77777/.


Рис. 4.22



sect;4.8. О колебаниях в системе с ударами 235

Решение сформулированной задачи довольно громоздко, поэтому приведем лишь основные соотношения. Перейдем для сокраш,ения записи к безразмерным переменным г = cot, cpi = Ф1/Ф*, (/?2 = Ф2/Ф*, С = /hi, Ф* = и/пси, где hi - перемеш,ение тела из положения при недеформированных упругих связях до соприкосновения с одним из упоров. Придем к уравнениям

(р[ + р{а + C)(pi = sinr, + р{а + С)(р2 = sinr,

(4.8.1)

описываюш,им колебания системы в промежутках между ударами. В (4.8.1) штрих означает дифференцирование по г; кроме того введены величины

2 с ф2

где с - жесткость упругих связей, т - масса тела, остальные обозначения соответствуют sect; 4.3.

Удары будут происходить при ( = plusmn;1, соотношение, связываюш,ее скорости до и после удара, по-прежнему имеет вид = -R(-.

Порождаюш,ее решение будем определять по той же схеме, что и в непрерывном случае, т.е. найдем (pi и (р2, отбросив малые члены, по этим (pi,(p2 определим силы, а по силам - перемеш,ения, внесем полученные cpi, (р2 и ( в малые члены, осредним и составим уравнения для определения постоянных составляюш,их потоков. Согласно [50, 71, 74], каждому вегцественному решению этих уравнений при достаточно малых отвечает*) периодический режим в исходной кусочно-непрерывной системе с тем же числом ударов за период, что и в по-рождаюш,ем приближении. Этот режим близок к порождаюш,ему в том смысле, что у них мало отличаются cpi, ср2 также моменты ударов. Однако скорости ( на протяжении малых интервалов вблизи моментов удара будут отличаться на немалые величины, так как laquo;точный raquo; и laquo;порождаюш,ий raquo; моменты удара, хотя мало, но отличны друг от друга.

В норождаюш,ем приближении возьмем (pi=a - cos г, (р2 = -а - - cos г. Если решения такого вида суш,ествуют, то уравнение относительно а, нолучаюгцееся после осреднения малых членов в первом

*) Точнее, отвечает при условиях, что порождающее решение не находится на границе области существования и не обращает в нуль якобиан (дР/да).



236 Глава 4. Колебания электромагнитов

уравнении (4.8.1), совпадет с уравнением, получающимся осреднением малых членов во втором уравнении. Далее будет показано, что это действительно так. Кроме того, в силу симметрии системы наряду с некоторым решением а = а* должно существовать решение а = -а*. Поскольку достаточно рассмотреть одно из таких решений, то можно принять а gt; 0.

Для определения ( получим уравнение

С + iy( = 4facosr (4.8.3)

с указанными условиями при ударе.

В отличие от непрерывного случая, в ударной колебательной системе при одном и том же виде вынуждающей силы возможны периодические режимы разных типов (с разным числом ударов, с различным их расположением в периоде и т. д.). Симметричный во времени двух-ударный режим является наиболее простым из них. Определим его. Обозначим через tq момент удара при ( deg; = - 1, лежащий в промежутке О lt; г lt; 27Г, а через Со скорость после удара. Условия периодичности для движения рассматриваемого типа можно взять в виде ({tq + тг) = = 1, ({то -\- тг - 0) = (q/R. Запишем общее решение уравнения (4.8.3)

( = Ci sin г/(г - Го) + С2 cos г/(г - го) + А cos г. (4.8.4)

Здесь А = 4fa/{-u - 1). Из условий С(го) = -1,СЧо) = Со и условий периодичности после исключения Ci, (72 и Со получим

Asinro- - - - -4 cos Го = 1, О lt; Го lt; 27г. (4.8.5) \ -\- R V 2

Перемещение С,{т) определяется соотношениями

I 1-R 1

С W = - , р-7-77 sin Го sin г/(г - Го) - - + А cos г.

V 1 + л cos(z/7r/2)

г/7г

0 lt; lt;0+7Г, С() = -С( - тг),

(4.8.6)

Го + тг lt; г lt; Го + 27Г.

При заданной амплитуде силы соотношения (4.8.5), (4.8.6) позволяют найти Го и перемещения. В данном случае эти соотношения определяют зависимости го и С от а.

Ограничимся случаем 1 lt; г/ lt; 2. Значениям v lt; 1 отвечает kicosi lt; 0. По при kicosi/ji lt; О устойчиво положение механического равновесия. Поэтому при v lt; 1 искомые колебания, если они существуют, не будут самовозбуждающимися.

Рассмотрим условия существования ударных колебаний. Должно быть Со gt; 0. По

Со = Ysinro. (4.8.7)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118