www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;4.8. О колебаниях в системе с ударами 237

Так как А gt;0 при г/ gt; 1, то sinro gt;0. Можно показать, что в таком случае (4.8.5) удовлетворится только, если А gt; 1,7г/2 lt;го lt; тг, причем каждому А gt; 1 отвечает единственное значение tq в промежутке 7г/2 lt;го lt; тг.

Кроме того, при tq lt; г lt; tq + тг должно быть \(\ lt; 1. Это требование приводит к некоторым ограничениям, наложенным на А и параметры системы. Они определяют в пространстве параметров некоторую область, на границе которой max \С{т)\ = 1- Эта граница в теории кусочно-непрерывных систем называется С-границей. Соотношения, описываюш,ие С-границу, в данном случае весьма сложны. Однако, имея в виду доказать, что искомые режимы суш,ествуют и область их сугцествования laquo;не слишком мала raquo;, можно ограничиться разысканием более узких областей, заведомо лежаш,их внутри С-границы. К их числу относятся, в частности, области такие, что ( не меняет знака при Го lt; г lt; Го + тг. Чтобы найти их границу, рассмотрим laquo;пограничный raquo; режим Cg{)j в котором (д не меняет знака, но обраш,ается в нуль при некотором значении г = Тд. В таком случае должно быть и Cig) = О- Но равенства С{д) = О? Cig) = О могут выполняться одновременно, только если значения параметров связаны некоторым соотношением. Это соотношение и описывает искомую границу. Его нрош,е всего составить, если исключить из указанных равенств синус и косинус и{гд - Го) - г/тг/2. В результате получим, что laquo;внутренние raquo; точки рассматриваемой области характеризуются неравенством

-I -1

1 lt;А lt;

со82(г/тг/2) fl-R\ sin(z/Tr/2)

Таким образом, если (4.8.8) выполнено, то С{) не меняет знака в течение полупериода и неравенство max \ С{т)\ lt; 1 в это время заведомо выполняется.

Рассмотрим Рг{а). Имеем

Pi (а, -а) = {{а + С)( laquo; - cost)),

Р2( laquo;, -а) = {{а - С){-а - cost)). Из симметрии ({г) во времени следует, что Pi{a) = -Р2{а), т.е. обоим уравнениям Pi = О, Р2 = О можно удовлетворить одним и тем же значением а. Этим показано, что магнитно-симметричные решения возможны.

Внося (4.8.6) в (4.8.9) и используя связь между А и а, получим в результате 1 - R - 1 -X ч

Отсюда определится го, а из (4.8.5) - Аж а. Все искомые величины, следовательно, можно найти, не решая трансцендентных уравнений.



238 Глава 4. Колебания электромагнитов

В этом смысле рассматриваемая задача о колебаниях под действием заранее неизвестной силы, создаваемой магнитами, нрогце задачи о колебаниях в случае, когда сила задана.

Исследуем устойчивость найденного режима. В задачах рассматриваемого тина можно составить различные линейные соотношения, например, разностные уравнения относительно времени удара и значений cpi, (р2, С при ударе, которые можно использовать так же, как уравнения в вариациях в случае непрерывных систем. Эти соотношения позволяют найти четыре величины (соответственно порядку системы), являюш,иеся аналогами характеристических показателей. Знаки их веш,ественных частей определят устойчивость синхронного режима. Указанные величины будут функциями параметра р, причем две из них (критические) при р = О обраш,аются в нуль, а две другие (некритические) имеют веш,ественные части, которые при р = О не обраш,аются в нуль. Условия устойчивости, соответствуюш,ие некритическим показателям, могут быть найдены из рассмотрения только по-рождаюгцего решения. Они представляют собой условия устойчивости рассмотренных колебаний системы с ограничителями, составленные в предположении, что сила 4/acosr задана*). Найдем эти условия.

Обозначим через С*{) перемеш,ения в возмуш,енном движении, а через Srk и 6(1 прираш,ения времени к-го удара при С* = - 1 и скорости после этого удара; к-м ударом в невозмугценном движении считаем удар в момент tq + 2к7г. Аналогично (4.8.4) получим

С* = (Ci + SCik) sin 1у{г - Го - 2к7г - Srk)-\-

+ ((72 + SC2k) cosz/(r - Го - 2к7г - 5гк) + А cos г. (4.8.11)

Из условий при т = То + 2к7г -\- Srk найдем, удерживая члены не выше первого порядка относительно прираш,ений,

SC2k = AsinroSTk, SCik = {SCl+А cos roSrk). (4.8.12)

При малых начальных возмуш,ениях удары о первый и второй упоры в возмуш,енном движении, по крайней мере, некоторое время будут чередоваться так же, как в невозмуш,енном. Обозначим момент сле-дуюш,его удара (при С* = 1) через tq + {2к + 1)7г + Srk+i, а скорость перед ударом - через (Со + C+i)/- После преобразований получим

*) В случае линейной системы с трением указанные колебания всегда устойчивы. Если же трение не учитывается или считается малым (порядка р), то устойчивость определяется добавками порядка р к чисто мнимым характеристическим показателям, которые имеет система в вариациях, записанная для порождающего решения. Соответствующие условия устойчивости называются laquo;дополнительными raquo; [10]. В задачах рассмотренного тина в нерезонансной области (см. гл. 3) они всегда вьшолняются [10].



sect;4.8. О колебаниях в системе с ударами

с прежней точностью 2Asinro

А sm Го -- - cos UTrj -

(4.8.13)

--sin итгА cos Го

-Ui = -(sinroi/tan + Acosro)(5rfe +(5С +

+ (A sin To г/ tan + A cos tq STk-\-i.

Соотношения (4.8.13) определяют линейный оператор Z, ставяш,ий в соответствие величинам Srk, S(l величины STk-\-i, C+i- Обозначим момент следуюш,его удара при = -1 через ro-\-2{k-\-l)7r-\-Srk-\-2 и скорость сразу же после удара через Со+С+2- Основываясь на симметрии исходного режима, можно показать, что связь между 5rk-\-2, Ск-\-2 Srk-\-i, описывается тем же оператором Z. Следовательно устой-

чивость определяется величиной собственных чисел этого оператора: если они оба но модулю меньше единицы, колебания асимптотически устойчивы при заданной силе; если модуль хотя бы одного из них больше единицы - неустойчивы.

Для определения собственных чисел оператора Z положим Srk = = zSr, S(l = zS(. Придем к характеристическому уравнению системы в конечных разностях (4.8.13)

sinг/7г cot го+ (l-i?2) cosг/тг- (l-R) z+B? = О, (4.8.14)

2 , 1

корни которого Zi,Z2 и являются искомыми собсвенными числами. Если л lt; 1 и

2(1 +

- (1 - я) sin 1У7Г cot Го + (1 - R) cos г/тг - (l - R)

lt;1,

(4.8.15)

то \zi\, \z2\ lt; 1 И колебания устойчивы, если вместо второго неравенства (4.8.15) справедливо противоположное неравенство - неустойчивы; случай, когда одно из неравенств обраш,ается в равенство, соответствует границе области устойчивости и не рассматривается.

Второе неравенство (4.8.15) можно преобразовать, рассмотрев по отдельности случаи, когда величина под знаком модуля принимает тот или иной знак. Используя (4.8.5), получим в результате, что неравенства (4.8.15) вместе эквивалентны неравенству

А gt;

sin г/тг

[2 + (i-c s )(i)T}

, -1

/1 + Л\-1г1 г/тг г/ г . ч/1-\1Г

:--- lt; - tan----:- 2 + (1 - cos г/тг)--- \

\1-RJ Хи 2 sinг/тгL 4l + i?yJj

(4.8.16)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118