Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [ 79 ] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;4.8. О колебаниях в системе с ударами 243

ВИЯ получается система линейных однородных алгебраических уравнений относительно тую, то- Так как требуется, чтобы Щото Ф О, то дополнительно должен быть равен нулю ее определитель. Это приводит к квадратному уравнению, из которого определяется Ai. Для устойчивости необходимо, чтобы его корни имели отрицательные вегцественные части. В данном случае корни оказываются вегцествен-ными, причем они определяются выражениями не содержагцими радикалов. Условие устойчивости, соответствующее требованию, чтобы один из корней был отрицателен, после громоздких преобразований сводится к виду

а f г/тг /1 2sinro 1 + Л gt;

,а t г/тг/i ismro i + it\

г/ тг 2 \г/ sm г/тг 1 - it/

2г/sinro/1 - i .

L smг/тг

/1-i? . ог/тг l-\-R\ 1-1 , laquo;2

[ttrT + iJ- M + lt;

(4.8.23)

Если не учитывать, что tq удовлетворяет уравнению (4.8.10), то второе условие, получающееся после вычисления второго корня, записывается в виде, сходном с (4.8.23) в том отношении, что в него также входит громоздкая дробь, похожая на дробь в (4.8.23). Но если учесть (4.8.10) и заменить входящий в эту дробь комплекс

1-R1 г/тг

TTruY

согласно (4.8.5), то оно сводится к неравенству

cos2ro gt;0. (4.8.24)

Учитывая указанные ранее ограничения, получим отсюда 3/4тгго lt; тг.

Условию (4.8.23), очевидно, можно удовлетворить, выбирая достаточно большие значения сг, например, за счет уменьшения расстояния между упорами. Кроме того, если справедливы неравенства

1 1 2 sm -- -j

rR - 2 J TTR lt; ito lt; (4.8.25)

г/тг

l + R . 1-R lt; 2--- + 2sin

4-i - 2 1 + i? TO неравенство (4.8.23) удовлетворится при любых сг, так как его левая часть будет отрицательна. Нри этом удовлетворится также условие устойчивости (4.8.16), поскольку оно может быть переписано в виде

1 l-\-R 1У7Г 1- R ч

-sm г/тг cot Го lt; 2--- + 28т -----. (4.8.26)

г/ 1 - it zl + ii

244 Глава 4. Колебания электромагнитов

Следовательно, условия устойчивости (4.8.16), (4.8.23) во всяком случае не противоречивы. Очевидно также, что они не противоречат (4.8.24). Наконец, переписав достаточное условие существования режима (4.8.8) в виде

1 + - sin Го 1

YZTr-

cos- и преобразовав, придем к неравенству

-sin г/7г cot Го gt; -2- cosro sin (4.8.28)

tg г/ 1-R 2

Но так как tg(i/7r/2) lt; О, то величина в правой части этого неравенства меньше величины в левой части первого неравенства (4.8.25). Таким образом, все перечисленные ограничения, дающие достаточные условия существования и устойчивости найденных режимов, не противоречивы. Они определяют некоторую область в пространстве параметров, laquo;попав raquo; внутрь которой, можно реализовать рассмотренные колебания. Проще всего этого добиться, выбирая значение г/ достаточно близким к единице и одновременно уменьшая значения /, чтобы отношение /(г/ - 1)~ было не слишком велико. Из (4.8.10) следует, что неравенство 3/47г lt; го lt; тг может быть выполнено только при

gt; --

В обозначениях этой главы (4.8.29) представляет условие неустойчивости механического равновесия. Данное условие, следовательно, необходимо для существования найденных колебаний. В этом обнаруживается сходство систем с механической и магнитной нелинейностью, где, согласно sect; 4.3, оно также необходимо.

Сделанный вывод о существовании устойчивых колебаний частоты со в системе с ударами открывает другую возможность (помимо использования магнитной нелинейности) для возбуждения колебаний этой частоты с помощью наиболее простых электромагнитов, подключаемых только к источникам переменного тока*).

Хотя общая теория метода Пуанкаре для кусочно-непрерывных систем развита достаточно подробно [50, 71, 74], рассмотренная выше задача составляет, по-видимому, единственный пример, в котором вычисления метода Пуанкаре для системы, разрывной в порождающем приближении, проведены в том же объеме, что и в непрерывном случае. Поэтому предыдущее может представить некоторый интерес и для теории кусочно-непрерывных систем.

*) Соответствующий класс технических устройств предложен СП. Бар-зуковым и К.Ш. Ходжаевым (авт. свид. № 228308Б, кл. 42к, 21.01).

sect;4.8. О колебаниях в системе с ударами 245

Устойчивые колебания частоты ии при питании электромагнитов только от сети переменного тока могут, по-видимому, возбуждаться не только в системах с ударами, но и в любой нелинейной колебательной системе с laquo;жесткой raquo; упругой характеристикой. Но если система нелинейна за счет нелинейного трения, а ее упругая характеристика линейна, то такие колебания вряд ли возможны. Во всяком случае, их не удается реализовать в технических устройствах, предназначенных для перемещения сыпучих материалов, хотя влияние материала до некоторой степени эквивалентно действию нелинейного трения, описываемого, например, членом (3.

Рассмотренные в настоящей главе электромагниты описываются уравнениями Рауса, которые в порождающем приближении линейны по механическим (позиционным) координатам. В этом случае устойчивые колебания частоты со при питании только переменным током возможны лишь за счет сочетания laquo;взаимодействие плюс нелинейность в ферромагнетике или колебательной системе raquo; и невозможны, если магнитная и механическая нелинейности несущественны. Интересно выяснить, сохраняется ли такой вывод для систем с другой геометрией поля, когда пондеромоторные силы, записанные как функции магнитных потоков, зависят от механических координат и уравнения движения колебательной системы нелинейны. В случае одной электрической степени свободы этот вопрос приводит к следующей задаче: установить, существуют ли у системы

Ф-\-ПЬ~Ф = и sin cot,

1 s (4.8.30)

Му + Ву + Су = --Ф-Ь-

2 ov

устойчивые 27г/а;-периодические решения такие, что разложение v в ряд Фурье содержит немалую первую гармонику. В (4.8.30) индуктивность L gt; О является функционалом от v или функцией компонент вектора v в конечномерном случае, а величина R предполагается пропорциональной некоторому малому параметру.