www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [ 80 ] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

ГЛАВА 5

ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА

В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ НОЛЕ

sect; 5.1. Движение иод действием

быстроосциллируюш,их сил

Хотя решение рассматриваемой задачи известно и изложено в laquo;Механике raquo; Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [58] со ссылкой на метод, нринадлежаш,ий П.Л. Капице, далее эта задача анализируется заново [78]. Это преследует две цели.

Во-первых, в [58] не указаны условия, при которых справедливо обобш,ение вьшода о потенциальности средних сил в первом приближении на системы со многими степенями свободы. Наиболее простым и естественным является условие, что амплитуды быстро осциллиру-югцих сил имеют потенциал. Сразу же заметим, что при этом условии вывод о потенциальности представляется значительно менее неожиданным, чем без него, поскольку исходная система гамильтонова.

Во-вторых, в [58] не введен явно малый параметр и используется процедура, внешне отличная от известных методов усреднения. Это дало повод Ю.Д. Далецкому и М.Г Крейну [33] заметить, что приведенные в [58] рассуждения остались для них непонятными. Поэтому полезно записать уравнения с малым параметром и провести решение методом усреднения, что может послужить ответом на указанное замечание. Это также дает возможность вычислить следуюш,ие приближения.

Обычно усреднение проводят так, чтобы усредненная система была тоже гамильтоновой. Но имеет смысл и другой способ усреднения, при котором усредненной системе в любых приближениях соответствует то же выражение кинетической энергии, что и исходной. Например, уравнение движения материальной точки и после усреднения описывает движение точки, но под действием уже непотенциальных сил. Для рассматриваемой задачи в предположении о потенциальности амплитуд быстро осциллируюш,их сил описываются оба способа усреднения.

Рассмотрим систему с одной степенью свободы; через q, р обозначим обобш,енные координату и импульс. Допустим, что инерционные



sect;5.1. Быстр о осциллирующие силы 247

коэффициенты в выражении кинетической энергии не зависят от q. Пусть на систему действует сила вида Fi (q) cos lyt + F2 (q) sin lyt и потенциальные силы с потенциалом Щд). Уравнения движения в форме уравнений Гамильтона с обобщенными силами будут

q = -р, р = Fi{q) cosi/t + F2{q) smiyt - (5.1.1)

m dq

Здесь m - инерционный коэффициент. Обозначим характерные значения координаты q, амплитуд сил Fi и F2 и времени соответственно [q], [F] и [t] = 1/г/. При этом характерные значения импульса и инерционной силы соответственно будут [р] = ш[д]г/ и [Q] = ш[д]г/. Если частоту г/, как в [58], считать больгаой, то отногаение [P]/[Q] может быть принято за малый параметр г.

С другой стороны величина [F]/mv является характерной амплитудой быстрых вибраций системы, имеющих частоту г/, под действием сил Fl cos vt + F2 sin vt. Поэтому предположение о малости е эквивалентно предположению о малости амплитуды быстрых вибраций по сравнению с [д]. В [58] малость этих амплитуд принимается как исходное предположение без явного введения малого параметра.

Будем в дальнейшем интересоваться только теми движениями системы, которые существенно зависят от быстро осциллирующих сил, несмотря на то, что эти силы малы по сравнению с характерным значением инерционной силы. Для этого предположим, что начальное значение импульса равно г, т. е. ро/М ~ - В противном случае движение сведется в основном к движению но инерции и наличие быстро осциллирующих сил будет мало заметно. Силы dU/dq тоже должны быть малы для того, чтобы их влияние на движение было таким же, что и быстро осциллирующих сил, им, как будет видно из дальнейшего, следует приписать порядок г.

Введем теперь безразмерное время г/t, координату q/[q] и импульс р/г[р]. При принятых предположениях размерный импульс будет порядка г по сравнению с характерным значением импульса, а безразмерный - порядка единицы во все рассматриваемое время движения. Сохраняя за безразмерными переменными обозначения соответствующих размерных величин, после сокращения второго уравнения на s придем к системе

q = sp, р = Fi(q)co8t-\-F2(q)smt-s. (5.1.2)

Система (5.1.2) отличается от уравнений, рассматриваемых в [58], явно входящим малым параметром г. Заменой переменных

р = д + Fi{q) sint - F2{q) cost (5.1.3)



248 Глава 5. Заряэюенная частица

эта система приводится к стандартной форме

q = s{g-\-Fi (q) sin t - F2 (q) cos t),

/dFi dF2 \, , dU ( 4)

g = -si -- smt H--- cost (g + Fi smt - F2 cost) - s--.

\ dq dq J dq

Обычной для метода усреднения заменой переменных q = + sUiту, t) + sU2(, ту, t) + ...,

(5.1.5)

g = T] + sVi (, ту, t) + гV2 (, ту, t) + ... система (5.1.4) приводится к автономной системе

(5.1.6)

При этом предполагается, что правые части уравнений (5.1.2) имеют достаточное число ограниченных производных, а функции Ui, Vi, U2, V2, в (5.1.5) ограничены по t.

В первом приближении можно считать q = д = т] di уравнения для , ту получить усреднением правых частей уравнений (5.1.4) по t. Придем к уравнениям

i = ev, V = -e, (5.1.7)

Uef = n+{F+Fi). (5.1.8)

Уравнения (5.1.7) описывают движение системы в потенциальном силовом поле с потенциалом Uef, что совпадает с [58]. Однако, в отличие от [58], результат получен стандартной процедурой метода усреднения.

Вывод о потенциальности средних сил в первом приближении можно распространить на механическую систему с п степенями свободы. Движение такой системы описывается уравнениями

q = A-{q)p,

p=-pp + Fi{q)co8iyt + F2{q)8miyt-. (5.1.9)

Здесь q, р - n-мерные векторы-столбцы обобщенных координат и импульсов, А - матрица инерционных коэффициентов; Fi, F2 - n-мерные векторные функции.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [ 80 ] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118