www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [ 81 ] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

5.1. Быстр о осциллирующие силы

Приняв те же предположения о малости, что и ранее, и введя безразмерные переменные как в одномерной задаче, придем к уравнениям

q = sA-\q)p,

(5.1.10)

р = Fl (q) cos t-\- F2 (q) sin t - г

dq dq.

Заменой переменных p = g -\- Fi smt - F2 cost система (5.1.10) приводится к стандартной форме

q = sA~{q){g + Fi sint - F2 cost),

1 rdA- , чт

= -29 -g - s{Fi8mt - F2C08ty

(5.1.11)

1 9A~

--s(Fi sint - F2 cost) (Fl sint - F2 cost)-

/dFi dF2 \ . i. X an

-г smt--- cost Л Ma + Fi smt - F2 cost) - г - .

V cg dq J dq

Повой заменой (5.1.5), где , ту - те же векторы, придем к уравнениям первого приближения

(5.1.12)

1 тдЛ

-2121

,тдА-

F, + A-Fi + ЩА-F,) =

1 гдА-

V-eG{0-

Если функции Fi(g) и F2(g) произвольны, то вектор-функцию G() в (5.1.12) нельзя представить в виде -dUef/d и вывода о потенциальности средних сил, указанного в [58] сделать не удается. Наиболее простым и естественным условием, обеспечиваюгцим потенциальность средних сил в первом приближении, является сугцествование потенциалов у векторных амплитуд Fi и F2. Будем предполагать в дальнейшем, что суш,ествуют скалярные функции Ui{q), U2{q) такие, что

Fi() = -dUi/dq, F2{q) = -dU2/dq. (5.1.13)

Тогда матрицы dFi/dq, dF2/dq будут симметричны и

Uef=U + -{FA-Fi + FjA-F)

В этом случае получим уравнения

г] = -е

(5.1.14) (5.1.15)



250 Глава 5. Заряэюенная частица

аналогичные уравнениям (5.1.7) и с тем же потенциалом, что и в [58]. Однако вывод о потенциальности средних сил в первом приближении сделан при условии (5.1.13) и выглядит не столь уж неожиданным, поскольку амплитуды Fi, F2 сами потенциальны.

В рассмотренной в sect; 1.5 задаче о движении проводягцего твердого тела в быстронеременном во времени магнитном поле средние электромагнитные силы, действу югцие на тело, оказываются также потенциальны, хотя исходная система заведомо не гамильтонова.

Введение малого параметра в явном виде в уравнения (5.1.10) позволяет находить и следующие приближения. Эти приближения необходимы не только для уточнения вычисления средних сил. Более интересны случаи, когда высгаие приближения качественно определяют движение. Так будет, например, когда эффективный потенциал Uef не зависит от одной или более обобщенных координат. При этом laquo;увод raquo; системы в сторону отсутствующих в потенциале координат можно выявить только с помощью высших приближений.

Рассмотрим случай, когда выполняется условие (5.1.13), предполагая для простоты, что А = const, например, твердое тело совершает плоское движение. При этом система (5.1.11) будет неавтономной гамильтоновой с гамильтонианом

Н = ( + Fisint-F2Cost)A-( + Fisint-F2Cost). (5.1.16)

Усреднение таких систем проводят обычно так, чтобы система оставалась гамильтоновой в любом рассматриваемом приближении. Будем искать замену переменных

S = qr] + sSi{q,r],t) + ... . (5.1.18)

Для производящей функции S{q,r],t) имеем уравнение

где К - новый гамильтониан. Во втором приближении получим

Si = (Fl cost+ F2 sint)A S- \FA-F2Cos2t+

+ l{FA-Fi-FlA-F2)sm2t, (5.1.19)

К = e {A-, + U.f) + ie (Ff A- - F-A- A-,).



(5.1.20)

sect;5.1. Быстр о осциллирующие силы 251

Это приводит к уравпепиям

Достоинство этой системы в том, что она гамильтонова. Однако уравнениям (5.1.20) затруднительно сопоставить конкретную механическую систему, которая имела бы их своими уравнениями движения. Например, если исходная система - материальная точка, то уравнения (5.1.20) описывают уже иную систему с тремя степенями свободы, структура которой зависит от вида действующих на точку сил с амплитудами Fl и F2.

Поэтому имеет смысл и другой способ усреднения, нри котором усредненной системе в любых приближениях соответствует то же выражение кинетической энергии, что и исходной. В частности, уравнения движения материальной точки и после усреднения останутся уравнениями движения точки. Естественно, что при этом теряется гамильтонова структура и действующие на точку средние силы в высших приближениях будут уже непотенциальны.

Второй способ вывода усредненных уравнений сводится к подходящему выбору произвольных функций, с точностью до которых определяются t/i, Vi, t/2, V2 и т. д. в выражениях типа (5.1.5). В рассматриваемой задаче требуется во всех приближениях сохранить первое уравнение, связывающее и ту, в виде

= гА-. (5.1.21)

Во втором приближении для этого необходимо выбрать функцию Vi так, чтобы выполнялось соотношение

02 = \a-\A-Fi - -ILa-F,)+A-{Vi) = 0. (5.1.22)

Иначе говоря, (Vi) следует принять равным

в (5.1.22) и (5.1.23) косые скобки означают среднее значение за период. На функцию Ui специальных требований не накладывается; соотношение (5.1.22) занисано в предположении, что Ui имеет нулевое среднее значение. При этом вторая группа уравнений движения во втором приближении имеет вид



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [ 81 ] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118