www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [ 82 ] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

252 Глава 5. Заряэюенная частица

где матрица

кососимметричная. С учетом (5.1.21)

V = -s+sMi (5.1.24)

и, следовательно, средние силы, появляющиеся во втором приближении, - гироскопические.

Выбором функции V2 можно сохранить уравнение (5.1.21) в третьем приближении и т. д.

Уравнения (5.1.21) и (5.1.24) описывают движение исходной системы с кинетической энергией, задаваемой матрицей А под действием сил -sdUef/d, sMi

Вторая (непотенциальная) сила обусловлена взаимодействием синусной и косинусной гармоник быстроосциллирующих сил и исчезает, как и члены второго порядка в (5.1.20), если эти силы сводятся к одной гармонике. Тогда для анализа уводов в сторону координат, отсутствующих в t/e/, нужно вычислить сщс ОДНО приближениб. Что же касается этих уводов, то они существенно проявляются на временах порядка Т/г или на больгаих. Для качественного исследования движений в таких случаях можно воспользоваться подходом, изложенным в ПЗ.

sect; 5.2. Движение заряженной частицы

в высокочастотном электромагнитном ноле

В первом приближении усредненные уравнения движения заряженной частицы в высокочастотном электромагнитном поле получены в [65], ВЫСП1ИМ приближениям посвящена работа [59]. Тем не менее здесь эта задача рассматривается заново по следующим причинам.

Во-первых, уравнения движения сводятся к стандартной форме Крылова-Боголюбова иначе, чем в [59]; это позволило получить более простые уравнения и рассмотреть более общий случай по сравнению с [59]. Во-вторых, показано, что при усреднении не требуется разлагать по параметру выражение для закона индукции; в частном случае, рассмотренном в [59], это приводит к результату, отличному от указанного в [59]. Кроме того в [59] не введены эволюционные составляющие исходных переменных и как усредненные, так и исходные уравнения в стандартной форме записаны относительно одних и тех же переменных, что справедливо только в первом приближении. В-третьих, в [59] не указано, как выбираются произвольные функции медленных переменных при построении высших приближений; между тем от выбора



sect;5.2. Высокочастотное поле 253

этих функций существенно зависит структура усредненных уравнений.

Далее указанные произвольные функции выбираются так, чтобы усредненные уравнения имели вид либо уравнений движения материальной точки, либо уравнений Гамильтона. Вычислены второе, а в частном случае, рассмотренном в [59], третье приближения. В первом приближении усредненный гамильтониан найден в [16], однако там не указан вид исходного релятивистского гамильтониана, позволяющий получить уравнения в стандартной форме.

Рассматриваемые высшие приближения необходимы не только для уточнения вычислений, но и могут качественно определять движение. Например, они требуются, когда средняя сила в первом приближении не зависит от одной или двух координат, для анализа дрейфа в сторону этих laquo;отсутствующих raquo; координат.

Сформулированы также некоторые задачи, которые не охватываются имеющимися в настоящее время результатами; такова, в частности, задача о движении заряженной частицы в высокочастотном поле с медленно меняющимися амплитудой и фазой.

Уравнения движения заряженной частицы в поле монохроматической электромагнитной волны имеют вид

Е+ -г X Н - г(гЕ) . (5.2.1)

Е = El (г) cos ujt + Е2 (г) sin ujt,

(5.2.2)

Н = Hi (г) coscjt + H2(r) sincjt.

Обозначим через [E], [Н], L характерные значения соответственно напряженности электрического и магнитного полей и характерное расстояние, на котором существенно изменяются Ei(r)/[F], Hi (г)/[Я] и т. д. Введем безразмерное время ut и безразмерный радиус-вектор r/L, но сохраним за безразмерными неременными и безразмерными отношениями El (г), Hi (г) и т. д. обозначения соответствующих размерных величин. Придем к уравнению

f = Jl-i)4\E,{r) COS. + E.(r) sint + Hf X

muj L V с L [EJ с

x(Hi(r)cost+ H2(r)sint) - ( r(rEi(r) cost+ fE2(r) sint)

(5.2.3)

Далее потребуются также уравнения, связывающие Ei,Hi,E2,H2 и получающиеся из закона индукции, записанного в безразмерной форме



254 Глава 5. Заряэюенная частица

В электромагнитных нолях различного происхождения отношения и cjL/c могут принимать значения разных порядков [59]. Далее рассмотрим laquo;нормальный raquo; [59] случай, когда эти отношения порядка единицы.

Отношение характерной силы Кулона к характерной силе инерции

г = e[E]/mujL (5.2.5)

будем считать малым. Но величина е[Е]/ти является характерной амплитудой быстрых осцилляции частицы, имеюш,их частоту cj, под действием характерной кулоновой силы. Поэтому предположение о малости г эквивалентно предположению о малости амплитуд быстрых осцилляции по сравнению с L. В [65], [59] малость этих амплитуд принимается как исходное предположение без введения параметра г соотношением (5.2.5).

Движение частицы далее считается нерелятивитским, т. е. отношение \т\/с в (5.2.1) предполагается малым, однако учитываются релятивистские поправки в уравнениях движения. По-видимому, наиболее интересен случай, когда г/с = 0(г); он и исследуется далее.

В рассматриваемой задаче естественно интересоваться случаем, когда электромагнитные силы суш,ественно влияют на движение частицы, несмотря на то, что они малы в указанном смысле. Так будет только при условии, что безразмерная скорость частицы г мала на всем интервале времени, за которое частица проходит расстояние порядка L; в противном случае частица пройдет этот интервал практически по инерции. Как будет видно из дальнейшего, искомое движение будет осугцествляться, если г = О (г). Введем поэтому новую независимую переменную v = г/г. При принятых предположениях можно выбрать характерные значения [Е], [Н], так, чтобы [Е] = [Н], ujL = с. Тогда приходим к системе

f = SV,

V = л/l - 22[El COS t + E2 sin t + SVX (5.2.6)

x(Hi cost + H2 sint) - sv(vEi) cost - sv(vE2) sint]. Уравнения (5.2.4) примут вид

V X El (г) = -H2(r), V X E2(r) = Hi(r). (5.2.7)

Преобразуем уравнения (5.2.6) к стандартной форме Крылова-Боголюбова. Имея в виду построить второе приближение, удержим в разложении корня квадратного в (5.2.6) только два первых члена. Введем в получаюш,ейся системе новую переменную и соотношением

V = U + El sin t - Е2 cos t. (5.2.8)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [ 82 ] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118