www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [ 85 ] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;5.3. Частица в электромагнитном поле 261

Важны случаи, которые только и рассматриваются далее, когда при указанном выборе безразмерных переменных амплитуды высокочастотного поля будут функциями произведения sir, где Si = uj[L]/c. Поскольку движение предполагается нерелятивистским, то и параметр Si 1. При этом из вида выражения для г следует, что характерное значение [Е] амплитуды переменного электрического поля должно быть величиной второго порядка малости по сравнению с В. Физически наиболее интересны ситуации, когда параметры s lt; Si одного порядка малости.

Рассмотрим резонанс, т. е. случай, когда параметр 2 = 1 - мал; считаем его того же порядка, что и остальные. Введем в качестве новой координаты вместо (р разность фаз S = (р - lyt. Эта замена каноническая. Новый гамильтониан связан со старым формулой

К = lC{I,5,t)-vL (5.3.6)

Переменные 5, I, Р, хь, Уь - медленные, причем 5,1 ~ г, а Д, хь, Уь Выстрой же переменной будет координата z. Она может принимать большие значения z 1/г нри t ~ 1/г, однако это не имеет значения, поскольку z входит только в функции Ei(sir), E2(sir). В первом приближении метода усреднения можно считать, что z = = z{to) + Pz{t - to), Pz gt; XL, Уь = const, a Sir = Ргез, r = s{t -- to). Усредненные уравнения движения в нервом нриближении будут уравнениями только относительно /, 5; эти уравнения гамильтоновы с функцией Гамильтона, получаюш,ейся усреднением (5.3.6) но явно входяш,ему времени

/С = 2/ + IPz - л/27[(Е2е1) cos S + (Eiei) sin S] +

+ A/27[(E2e2)sin(5+(Eie2)cos(5]. (5.3.7)

Уравнения, отвечаюш,ие функции Гамильтона /С, будут неавтономные в силу зависимости Ei,E2 от медленного времени т.

Рассмотрим движение частицы при возмуш,ении однородного поля полем монохроматической эллиптически поляризованной волны, рас-пространяюш,ейся вдоль оси с ортом пз. В этом случае электрическое поле

Е = niFi cos(sin3 г - г/t) + П22 sin(sin3 г - vi). (5.3.8)

При записи (5.3.8) предполагается, что орты П1,П2,пз образуют правый декартовый триэдр, а направление осей ж, у выбраны так, чтобы орт Пз лежал в плоскости xz и орт bjn был направлен по оси у\ тогда орт П1 будет также лежать в плоскости xz. Пз (5.3.8) получаем El (sir) = niFi cos(sin3 г) + П22 sin(sin3 г),

(5.3.9)

E2(sir) = niFi sin(sin3 r) + П22 cos(sin3 r).



Глава 5. Заряснсенная частица

Подставляя (5.3.9) в (5.3.7), получим

/С = + - a/27(Fi cos + Е2) sm{S + P,r cos),

cosO = П3 63.

Учитывая, что в первом приближении = const и вводя новую медленную переменную а = 5 -\- Prcos, придем к новой гамильтоновой системе, теперь уже автономной, с новой функцией Гамильтона (постоянный член 1/2Р опущен)

G(/, а) = {S2 + SiPz COS 0)1 - V2I{Ei cos i9 + E2) sin a. (5.3.11)

Для усредненных уравнений G(/, а) есть интеграл движения. Если в (5.3.11) перейти обратно к исходным переменным г,Р, то величина G будет адиабатическим инвариантом (но не /, как иногда полагают). Уравнения движения системы с гамильтонианом G имеют вид

/= л/27(Е1 cosi9 + F2)cosa, d = (s2 + iPz COS в) - -(Fi cos6 gt; + E2) sin a.

(5.3.12)

Фазовый портрет системы (5.3.12) для случая Ei cos в -\- Е2 lt; О, S2 + -\-SiPz cosO gt; о представлен на рис. 5.1; фазовые портреты для других


G lt;0

Рис. 5.1

знаков коэффициентов в (5.3.12) отличаются не принципиально. Фазовое пространство системы (5.3.12) - цилиндр, поэтому на рисунке -тг lt; а lt; тг. Ось / = О является геометрическим местом точек разрыва системы (5.3.12). Исследовать движение с / ~ г, как указывалось, принятым способом не удается. Но его можно изучить другим путем. Из предыдущего видно, что в первом приближении соответствующие уравнения Лагранжа являются линейными с медленно меняющимися коэффициентами Ei{r), E2{r). Поэтому для исследования можно использовать не только метод усреднения, но и методы типа ВКБ,



sect;5.3. Частица в электромагнитном поле 263

где случай малых / не является особенным. Но нри малых / принятый метод усреднения существенно проще.

Регаения уравнений (5.3.12) на цилиндре - периодические. В таких случаях точные решения уравнений движения могут качественно отличаться от первого приближения за счет членов высшего порядка малости (к числу членов порядка относятся, в частности, члены, учитывающие переменное магнитное поле). Но члены высшего порядка сказываются, во-первых, на временах ~ 1/г и больших, и, во-вторых, могут быть учтены лишь в следующих приближениях метода усреднения. Это позволяет поставить задачу о вычислении высших приближений и об исследовании движений на временах больших 1/г.

Задача о резонансном движении частицы в поле плоской волны и постоянном магнитном поле уже рассматривалась в [46, 47]. В этих работах скорость частицы не предполагалась малой по сравнению с фазовой скоростью волны. Поэтому формально результаты, имеющиеся в [46, 47], более общие, чем результаты, полученные выше. Чтобы получить последние результаты из [46], надо ввести в соответствующих уравнениях [46, 47] малый параметр г, перейти к переменной /, заменить бесселевы функции первыми членами их разложений но степеням аргумента и т. д. В итоге оказывается, что случай малой скорости частицы, не рассмотренный непосредственно в [46, 47], проще изучать отдельно, как это было сделано выше. Кроме того, использование результатов [46, 47] затрудняется тем, что в этих работах не введены явно малые параметры и не указаны быстрые и медленные переменные.

Пусть ларморовская частота в постоянном поле и частота волны - величины одного порядка, но существенно различны между собой. Пусть отношение амплитуд переменного и постоянного полей такие же, как и ранее. Система с функцией Гамильтона /С (5.3.5) будет в этом случае системой с двумя быстрыми фазами. Существенно, что быстрые фазы входят в (5.3.5) только в виде попарных произведений вида cos ср cos ut и т. д. В таких случаях в первом приближении при усреднении не возникает малых знаменателей. Усредняя уравнения движения, соответствующие гамильтониану (5.3.5), по обеим быстрым фазам, получим, что в первом приближении / = О и т. д. Иначе говоря, высокочастотное ноле в отсутствии резонанса качественно не влияет на движение.

Рассмотрим еще случай, когда отношение амплитуд переменных полей к величине постоянного поля порядка единицы. При этом асимптотическим методом может быть рассмотрен только подслучай ии ujl, ojl = еВ/тс. Характерные значения искомых переменных и заданных полей здесь следует вводить в соответствии с sect; 5.2.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [ 85 ] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118