Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [ 86 ] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

264 Глава 5. Заряснсенная частица

В результате придем к системе с функцией Гамильтона

=-(q--ез X r-E2C0st + Eisintj . (5.3.13)

Здесь, как и в выражении (7.2.21), введен новый безразмерный немалый импульс q = Р/г, но в отличие от указанного выражения отброшены релятивистские поправки. В отличие от формул (5.3.8) функции El, Е2 в (5.3.13) будут уже зависеть от г, а не от Siv.

Проводя усреднение, как и в sect; 7.2, в первом приближении получим систему с функцией Гамильтона

(r,q) = (q- ез X г) + {Ef + Е), (5.3.14)

которая описывает движение частицы в исходном постоянном магнитном поле и переменном в пространстве электрическом поле с потенциалом Uef = l/4(Fj + 1).

Укажем еш,е случай, когда амплитуды переменных полей на порядок, а не на два, как в рассмотренном ранее резонансном случае, меньше величины постоянного поля. В этом случае параметр г в функции Гамильтона (5.3.3) будет не мал, а параметр si по-прежнему останется малым. Немалые члены функции Гамильтона будут соответствовать движению частицы в поле, получаюгцемся наложением высокочастотного электрического поля с медленно меняюгцимися в пространстве амплитудами на постоянное магнитное поле. Малые члены описывают влияние переменного магнитного поля. Способы исследования этой задачи пока не разработаны.

В заключение отметим, что ни в одном из рассмотренных случаев не получаются результаты, полученные в [65] и указанные в [29].

sect; 5.4. Релятивистская заряженная частица в сильно неоднородных скреш,енных электрическом и магнитном нолях

Точное интегрирование уравнений движения заряженных частиц в неоднородных электрическом и магнитном полях, как правило, оказывается невозможным. В то же время численный расчет весьма затруднен, если частица, враш,аясь, совершает за время движения большое число оборотов вокруг силовой линии магнитного поля.

В [12] была построена и строго обоснована схема осреднения уравнений движения заряженной частицы в произвольных слабо неоднородных электрическом и магнитном полях по быстрой фазе врагцения. При этом полная кулоновская сила считалась малой по сравнению с силой Лоренца. В настояш,ем параграфе изучено движение релятивистской заряженной частицы в электрическом E(F(x), Еу = const, 0) и

sect;5.4. Частица в скрещенных полях 265

магнитном Н {Нх = const,О, Н{х)) скрещенных нолях. Малой но сравнению с силой Лоренца считается только -компонента кулоновской силы, а на скорость изменения нолей ограничений не накладывается, так что полученные результаты применимы и к полям, меняющимся скачком. Последняя ситуация характерна для бесстолкновительных МГД ударных волн.

Рассмотрено движение частицы и в слабо неоднородном поле той же конфигурации. Эта задача, хотя и относится к классу изучаемых обычной теорией, оказывается вырожденной и требует вычисления вторых приближений.

Рассмотрим движение заряженной частицы во внешних электрическом Е и магнитном Н полях. Пусть г - радиус-вектор частицы, ш - ее масса, е gt; О - заряд. Уравнение движения имеет вид (5.2.1). Электромагнитное поле будем считать заданным, при этом компоненты электрического и магнитного полей

Е = Fi + Ex = Е{х), Еу = const gt; О,

(5.4.1)

Н = Hxi + Як, Нх = const, Н{х) gt; О,

i, j, к - орты декартовых осей. Случаи е lt; О, Я(ж) gt; О и т. п. рассматриваются аналогично. Введем в уравнении движения безразмерные переменные, равные отношению размерных величин к их характерным значениям. За характерное значение скорости примем скорость света с; напряженности магнитного поля - некоторое значение [Я], которое более конкретно устанавливается в частных задачах, координаты - шс/е[Я], времени тс/е[Н]. Сохраняя за переменными прежние обозначения и проектируя уравнение движения на координатные оси, получим:

X = и.

й = vl - \/2[е(ж) + vh{x) - ие{х) - euv],

(5.4.2)

г; = V 1 - [ewhx - uh{x) + (1 - )в - vue{x)],

w = - \/l - Vlsvhx + swv + wue{x)]. Здесь обозначено

v = y, w = z, e = Ey/[H], ehx = Hx/[H],

h{x) = Я,(х)/[Я], e(x) = Ex{x)/[Hl V = u+ v+ w.

Величина s принимается за малый параметр, т. е. делаются два предположения. Во-первых, -компонента кулоновской силы считается ма-

266 Глава 5. Заряснсенная частица

лой по сравпепию с силой Лорепца. Во-вторых, малым считается угол наклона силовых линий магнитного поля к оси Oz. В существующей адиабатической теории движения заряженных частиц (см., например, [15, 75]) малой по сравнению с силой Лоренца считается полная кулоновская сила, а напряженность магнитного поля предполагается мало меняющейся на расстояниях порядка гирорадиуса частицы. Таким образом, эти основные ограничения существующей теории далее не сохраняются, малой считается только одна из компонент вектора Е, а Hz{x) может существенно меняться на расстояниях порядка гирорадиуса частицы.

Перейдем в (5.4.2) к новым переменным

Рх = pz = jw,

Py=v + Aix), А{х) = I h{s)ds, 7 = (1-у2)1/2 (5-4-3)

При этом система (5.4.2) примет вид

X = Px/l, Рх = е{х) + h{x){py - А(ж))/7,

(5.4.4)

Ру=г + shxPz/l, Pz = -еК[ру - А[х))1.

Содержащуюся здесь систему двух первых уравнений можно рассматривать как уравнение движения некоторой условной материальной точки с функцией Гамильтона

= {1 + (Ру - М)? P\f + Ф). (5.4.5)

где dif/dx = - е(ж), меняющейся во времени с изменением ру и pz, описываемым подсистемой (5.4.4).

Как известно, если в системе (5.4.3) функции ру и pz зависят только от медленного времени г = st, то такая система имеет адиабатический инвариант (см., например, [4]). Расматриваемая система в случае hx ф О не принадлежит к этому типу, однако покажем, что в ней тоже существует адиабатический инвариант, которым, так же как и в известных случаях, будет переменная действия в соответствующей задаче с py,pz = const.

Переменная действия пропорциональна площади фазовой траектории, ограниченной фазовой кривой = Е = const, т. е.

I=j[{E- ф)) -1-р1-(ру- Ais)fY/4s. (5.4.6)

Здесь xi{E,py,pz), X2{E,py,pz); xi lt; Ж2 - корни уравнения {E-ip{s)) - - 1 - pI - {ру - A{s)) = 0. Интеграл в (5.4.6) и далее в аналогичных