Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;5.4. Частица в скрещенных полях 267

случаях вычисляется при E,py,pz = const. Предполагается также, что фазовые траектории системы (5.4.3) при Е,ру,р = const замкнуты; так будет, в частности , при Lp{s) =0.

В случае hx ф О введем переменные действие-угол, так же как они вводятся в системе (5.4.3) с гамильтонианом (5.4.5) при Е,р,Ру = = const. Получим систему относительно I, Ру, Pz, ф с одной быстрой фазой ф. Переходя от дифференцирования по t к дифференцированию но ф, получим систему в стандартной форме Крылова-Боголюбова

щ = Н [Шру - ) - wMpy - ) + СФ

(5.4.7)

Здесь uj{l,py,pz) = {dl/дЕ)~ ф 0,A,j - функции A{x),j{x,Px)j выраженные через новые переменные I, ф.В соответствии с методом осреднения введем новые медленные (эволюционные) переменные J{t),k{t), fi{r) соотношениями

/ = J + гul{J,l,/l,ф)

Ру = evi (J, к:, /i, V) + .., (5.4.8)

Pz = fi + swi (J, к,11,ф) - e ... , где J, к, fl удовлетворяют уравнениям

- = si(J,K:,/i) +г ..., dK

= eHi{J,K,ii)+e(5.4.9)

= sZi(J,K:,/i) +г

Здесь функции ui, vi, wi выбираются с нулевым средним значением но быстрой фазе ф, а коэффициенты усредненных (эволюционных) уравнений Ei,Hi, Z\ равны средним значениям правых частей соот-ветствуюш,их уравнений системы (5.4.7).

Делая замену (5.4.8), (5.4.9) и вычисляя средние значения коэффициентов в правых частях уравнений (5.4.7), получим

(7) = , ((.-i)/7) = f. (5.4.10)

Здесь Е - эволюционная составляюш,ая Е, вводимая соотношением Е - Е sCi{J, к рф); угловыми скобками обозначено среднее по быстрой фазе ф.

268 Глава 5. Заряснсенная частица

Из (5.4.10) следует S = О, J(t) - J(0) lt; С г на промежутке времени t ~ 1/г, что и доказывает в соответствии с определением, данным в [4], адиабатическую инвариантность эволюционной составляющей переменной действия J:

J = J[S- ф)) -{к- A{s))]4s. (5.4.11)

в случае hx = О система (5.4.3), (5.4.4) принадлежит к виду, рассмотренному в [4], и имеет адиабатический инвариант того же вида, что и в (5.4.11).

Соотношение (5.4.9) позволяет записать медленную подсистему эволюционных уравнений, соответствующую (5.4.4), в виде

Hi = г

, d (J,K Li) о

(5.4.12)

Здесь {J,K,ii) - функция, получающаяся обращением зависимости (5.4.11), и система (5.4.12) интегрируется при J = const.

Далее, для простоты, будем считать е(ж) = 0. Рассмотрим движение частицы в электрическом и магнитном полях того же вида, что и раньше, но считая, что -компонента магнитного поля h{x) мало меняется на расстояниях порядка тс/е[Н].

Пусть [г] - характерный масштаб изменения напряженности магнитного поля. Ранее предполагалось, что [г] ~ тс/е[Н] или для полей с напряженностью, меняющейся скачком, [г] lt; тс/е[Н]. Задача же о движении при медленно меняющейся функции h{x) относится к случаю [г] ~ тс/е[Н]г, изучаемому существующей адиабатической теорией (см., например, [15, 75]). По, как оказывается, рассматриваемая задача является вырожденной и поэтому требует особого рассмотрения.

Переходя в уравнениях (5.4.3), (5.4.4) к переменным р = гх, = = 7(1x+1;), Л = y{l-\-whx) и углу гр, такому, что соБгр = уи/р, simp = = -уу/р, получим систему с одной быстрой фазой гр

р = spcosip/j,

р = -eXsimp/j, X = -ер{1 - hl)simp/y, ф = [h{p) - sXco8ip/p]/j.

(5.4.13)

sect;5.4. Частица в скрещенных полях

Заменяя дифференцирование но t дифференцированием ио ф придем к системе в стандартной форме

Л cos -0

dp pcosrp

dp /h с: р/h {р = = р+г...).

Необходимо, таким образом, найти решение системы (5.4.13) во втором приближении. Эволюционные (дрейфовые) составляюш,ие р, р, Л функций р, р, Л вводятся соотношениями

р = p-\-sui{p,p,\) +еи2{р,р,\ф) ...,

p = p + svi[р,р,Х,ф)+ ev2{р,р,\ф)+г (5.4.14)

X = X-\-swi{р,р,Л,ф) +еи)2{р,р,\ф)+е где р, р, Л удовлетворяют системе уравнений p = sEi{p,p, Х)+гЕ2{р,р, Л)

р = sHi{p,p, Л) + гН2{р,р, Л) + .., (5.4.15)

Л = eWi{-р,р, Л) + еW2(,р, Л) + г .. .

Выполняя замену переменных (5.4.14), (5.4.15) и приравнивая коэффициенты при первой степени г, получаем

dui р дф h{p)

1 + -- = ----тф, дф h{p)

Wi + = -(l-h

(5.4.16)

Пз (5.4.15), осредняя, находим

- 8тф.

Hi =0,

щ = -зтф,

Hi=0,

vi = --созф,

Wi=0, Wl = (l-/i2)cosV.

(5.4.16)