www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

270 Глава 5. Заряснсенная частица

Задача оказывается вырожденной и необходимо рассматривать высшие приближения. Во втором приближении имеем

дф h{p) h{p) bf{p)

Н, + = --1-т2ф + Xpsin Ф - -4-- ш2ф,

дф 2h{p) h\p) 2h\p)p

-(l-D:T7T73rsin2V. 2h (p)

(5.4.17)

Из (5.4.17), осредняя, находим коэффициенты дрейфовых уравнений 2, i?2, И2 и, возвраш,аясь к дифференцированию по t, получаем окончательно систему дрейфовых уравнений в виде

(5.4.18)

Система (5.4.18) имеет интеграл

J = = const, (5.4.19)

который совпадает с известным поперечным адиабатическим инвариантом. Однако в данном случае этот результат имеет две особенности. Во-первых, адиабатическим инвариантом во втором приближении оказывается именно величина р/h{p), что заранее не очевидно. В обгцем случае движения частицы величина р/h{p) является нетривиальным адиабатическим инвариантом в первом приближении, что связано с изменением напряженности магнитного поля вследствие движения вдоль силовой линии. В данном же случае этот дрейф сильно подавлен, адиабатический инвариант выявляется во втором приближении, и то, что он имеет обш,еизвестный вид, можно рассматривать как случайное совпадение, обусловленное выбором геометрии поля. Во-вторых, здесь су-ш,ественно сохранение адиабатического инварианта на промежутках времени t ~ 1/г.

Одним из возможных механизмов ускорения частиц в космическом пространстве является взаимодействие энергичных частиц с фронтами бесстолкновительных МГД ударных волн, суш,ествование которых доказано экспериментально. Взаимодействие одиночных энергичных нерелятивистских частиц с фронтом косой МГД ударной волны бес-



sect;5.4. Частица в скрещенных полях 271

конечно малой толщины рассматривалось в [1, 21]. Здесь рассматривается взаимодействие релятивистских частиц с фронтом косой МГД ударной волны конечной толщины.

Пусть МГД ударная волна распространяется в отрицательном направлении оси X со скоростью Uf. Как известно [56], магнитное поле в МГД ударной волне плоское. Примем в системе покоя фронта Нх = const, Ну = О, Hz = Н{х) gt; 0. В случае поршневой ударной волны Н{х) с постоянного значения Hi перед фронтом, резко изменяясь, переходит на постоянное значение Н2 в области за фронтом. Для взрывных ударных волн за скачком магнитного поля на фронте следует волна разрежения, в которой магнитное поле, медленно изменяясь, возвращается к невозмущенному значению Hi. Угол наклона силовых линий магнитного поля к оси Z будем считать малым, т.е.

В системе покоя фронта появляется постоянное электрическое поле Ех =0, Еу= UfHi/c = const, Ez = 0.

Характерные скорости распространения ударных фронтов в межпланетном пространстве Uf ~ 10-г 10 м/с, откуда находим Uf/c ~ 10~ + 10~, уравнения движения релятивистской заряженной частицы в поле бесстолкновительной МГД ударной волны примут вид (5.4.2), где S = (ix c) cosi, cosi = Hi/{hl+Hfy/ и [Н] = {Hi + + Я?)1/2.

Покажем, прежде всего, что при сделанных иредноложениях sgn{d /дх) = sgn{dh/dx). Пусть для определенности dh/dx gt; 0. Полагая для сокращения записи 2г] = - 1 - fi из (5.4.11), находим

7Г/2

dJ f de

gt; О,

д тг J h{A-{K- л/2г] sin0))

(5.4.20)

- 7г/2

dJ /Ъ] г г 1

дк. тг У \h{A-\Hi- /2г] sin в))

sin вdO lt; 0.

h{A-\i + y sin в)) Во втором неравенстве через А~ обозначена функция, обратная к A{s), и использовано то, что функции h{x),A{s) монотонно возрастающие. Пз неравенства (5.4.20) с учетом соотношения д /дк. = = {-dJ/dK,){d /dJ) получаем высказанное утверждение.

Используя (5.4.3), (5.4.4), (5.4.10), (5.4.11), легко получить уравнение для эволюционной составляющей кинетической энергии /С, вводимой соотношением К = К -\- Sipi{J, к /i, t) и связанной с переменной



272 Глава 5. Заряснсенная частица

соотношением К = - 1,

r = .f = -i-A. (5Л.21)

Таким образом, нри движении в области возрастания ноля dhx/dx gt; О (в области фронта ударной волны) кинетическая энергия в среднем монотонно возрастает со временем, нри этом р монотонно убьшает. Аналогично, нри движении в области волны разрежения, где dh/dx lt; lt; О, кинетическая энергия в среднем убьшает.

Абсцисса скорости ведуш,его центра Хс удовлетворяет уравнению

*-=мЬ = м1)

и есть скорость неремеш,ения максимума подынтегральной функции (центра колебаний) в (5.4.11).

Очевидно, что в случае чисто поперечной волны hx = О Xq знака не меняет - частица движется без отражений. В случае hx ф О возможно отражение. Условием отражения, как видно из (5.4.22), является равенство Жс = О, т. е. достижение в процессе движения отношением fi/ значения -l/hx-

Рассмотрим случай, когда частица двигалась в начальный момент к фронту, т.е. Хсо gt; О и, следовательно, ро/ / gt; -l/hx. Далее, при движении в области фронта, р только убывает. Нетрудно показать, что при этом убывает и отношение fi/ . Возможны следуюгцие случаи: - l/hx lt; Po/ i lt; Он -l/hx lt; О lt; fio/ i- В первом случае к сначала растет, затем, достигнув некоторого критического значения к, = к{Е 11о, Jo), начинает убывать. Нри этом Хс ведет себя как к (напомним, что h{x) gt; 0), т. е. возрастает до некоторого значения, а затем начинает убывать - частица отражается. Во втором случае возможны два варианта: а) fi/E, монотонно убывая, проходит через нуль и достигает значения -l/hx - частица отражается; б) монотонно убывая, p/S остается больше нуля. Нри этом Хс все время возрастает - частица пересекает фронт и уходит от него. Если частица двигалась из области за фронтом к к фронту, ЖсО lt; О и /io/ lt;?o lt; -l/hx lt; 0. Далее р/ только убывает - частица пересекает фронт и уходит в невозмугцен-ную область. Аналогично рассматривается движение в области волны разрежения.

Отметим, что здесь ясно видно принципиальное отличие свойств фронта поперечной бесстолкновительной МГД ударной волны от волн при любой другой ориентации магнитного поля, впервые отмеченное в [114]. Резкое изменение свойств происходит уже при углах ~ 0.001 рад.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118