www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;5.4. Частица в скрещенных полях 273

Вычислим теперь изменение в среднем кинетической энергии частицы во всех рассмотренных случаях. Как следует из (5.4.21)

1Сг-1Со = - f fidt= fi, (5.4.23)

hx J hx

и так как при движении в области фронта р только убывает, то кинетическая энергия возрастает во всех рассмотренных случаях движения частицы через фронт.

Приравнивая значения инварианта J (5.4.11) в области слабо неоднородного поля перед фронтом и за фронтом, получаем

- 1 - pl)/h{xco) = { ! - 1 - pl)/h{xci), (5.4.24)

что формально соответствует сохранению известного поперечного адиабатического инварианта, но строго может быть получено только в развитой здесь теории.

Более подробно выясним изменение энергии в случае отражения частицы от фронта. Для такой частицы удобно рассмотреть значения ее кинетической энергии после отражения в плоскости Xd = Хсо- Тогда h{xco) = h{xci) и использование (5.4.23), (5.4.24) дает

= plusmn; + . (5.4.25)

К.0 tlx + Wl К.0 tlx + Wl

Здесь wq и Wl - начальное значение и эволюционная составляюгцая -компоненты скорости частицы в момент времени to и ti соответственно. Связь Wo и Wl дается формулой

Wl = -{2hx +wo + hlwo)/{l + hl + 2hxWo). (5.4.26)

В нерелятивитском случае (5.4.25), (5.4.26) дают для частиц, отражающихся в области однородного поля за фронтом

= 1 + -(ш7 - лМт), (5.4.27)

Уо 1 + 7

здесь т = h2/hi - 1, J = tg 0,0 - питч-угол частицы. Максимальное изменение кинетической энергии в соответствии с (5.4.27) при т = = 2/С1 С0 = 9, что согласуется с [21].

В остальных случаях вычисление производится аналогично, т. е. из системы (5.4.23), (5.4.24) находятся /Ci(/Co,io) и wi{lCo,wo).

В случае взрывной ударной волны после резкого скачка на фронте поле, медленно изменяясь в волне разрежения {dh/dx lt; 0), возвращается к невозмущенному значению hi. При этом р сначала убывает, а затем возрастает до прежнего значения, и из (5.4.23) следует, что энергия частицы в рассматриваемом приближении не меняется вовсе.



274 Глава 5. Заряснсенная частица

В заключение отметим, что с помощью развитой теории возможно детальное исследование изменения энергетического спектра частиц при прохождении и отражении частиц от бесстолкновительной ударной МГД волны, рассеяние на флуктуациях магнитного поля и т. д.

sect; 5.5. Движение нерелятивистской частицы в неоднородном магнитном ноле

Для нерелятивистской частицы решение задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе, и анализ результатов значительно упрощаются. Несомненно, все формулы настоящего параграфа могут быть получены предельным переходом из соответствующих соотношений для релятивистской частицы. Однако, решение задачи для нерелятивистского случая проще и нагляднее, чем для релятивистского, кроме того результаты, относящиеся к нерелятивистскому случаю, существенно используются и конкретизируются в связи с приложением к физически важному случаю движения частицы в поле МГД - ударной волны. Но этой причине решение нерелятивистской задачи в основном производится заново, хотя часть этого решения была известна ранее.

Движение нерелятивистской заряженной частицы в заданных электрическом Е и магнитном полях Н описываются уравнением (5.2.1), в котором отбрасываются члены порядка v/c

г = V, V = -

Нри этом компоненты электрического и магнитного полей, как и ранее, задаются формулами (5.4.1).

Введем в уравнения (5.5.1) безразмерные переменные, но в отличие от релятивистского случая за характерную скорость примем начальную скорость частицы vq с, а координаты mv \ oc/e[H]. Сохраняя за безразмерными переменными их прежние обозначения и проектируя уравнения (5.5.10) на координатные оси, получим

X = и, й = h(x)v + е(х),

(5.5.2)

V = S - h{x)u + shxW, w = -shxV.

Здесь у = V, z = w, г = Eyc/v plusmn;o[H]j shx = Hx/[H], h{x) = = Hz{x)/[H], е(ж)= cEx/v plusmn; q[H]. Величина e принимается за малый параметр, т.е., как и ранее, делаются два предположения. Во-первых, -компонента кулоновской силы считается малой по сравнению с силой Лоренца. Во-вторых, малым считается угол наклона силовых линий магнитного поля к оси z.

Введем вместо v, w новые переменные X = hxW -\-1 и а = v -\- А{х),

где по-прежнему А{х) = J h{s)ds.

Е+ -V X Н

(5.5.1)



sect;5.5. Двиэюение нерелятивистской частицы 275

При этом система (5.5.2) примет вид

X = и, й = h{x){a - А{х))-\-е{х), (5.5.3)

сг = гЛ, Л = -гНЦа - А{х)). (5.5.4)

Содержащуюся здесь подсистему (5.5.3) можно рассматривать как уравнение одномерного движения некоторой условной материальной точки в меняющемся со временем (с изменением сг) нотенциальном поле, соответствующем гамильтониану

= + li - М)? + Ф). (5.5.5)

где dip{x)/dx = -е{х). Система (5.5.3), (5.5.4) имеет интеграл, совпадающий с точностью до несущественной константы с полной энергией частицы

и = -и + -{(7- А{х)) () = ( )

Как известно, если в системе вида (5.5.3) функция сг зависит только от медленного времени г = st, то такая система имеет адиабатический инвариант, которым является переменная действия в соответствующей задаче с сг = const [4].

Рассматриваемая система в случае hx ф О яе принадлежит к этому типу. Однако покажем, что в ней тоже существует адиабатический инвариант, причем того же вида, как и в известных случаях. Будем предполагать, что фазовые траектории системы (5.5.3) при сг = const замкнуты. Введем вместо ж, и переменные действие - угол /, так же, как в системе (5.5.3) с гамильтонианом (5.5.5) при сг = const.

Переменная действия пропорциональна площади фазовой траектории, ограниченной фазовой кривой 1-L = Е, т. е.

I = 1{Е, а) J [2Е -{а- A{s)) - 2ip{s)]/ds. (5.5.7)

Здесь xi(F,cr), X2(F,cr), Xl lt; X2 - корни уравнения (сг - А(ж)) + + 2ip{x) = 2Е.

По предноложению фазовые траектории системы (5.5.3) при сг = = const замкнуты, т. е. она описывает колебания. Положение центра, размах и частота этих колебаний медленно меняются. Размах колебаний равен Х2 - Xl, частота и = ф = дЕ/д! О, а центр колебаний является корнем уравнения

h{xc){(J - А{хс)) + е{хс) = О (5.5.8)

с точностью до величин следующего порядка.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118