www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

mi - -l\v=v, = 0- (1-3.20)

sect;1.3. Устойчивость стационарных двиэюений систем 33

Координата * положения равновесия определяется из третьего уравнения системы (1.3.17)

9MUiU2

-= - --

Производная lt; О и изменяется от - оо до О, тогда при любых Ui, U2 одинаковых знаков положение равновесия существует и единственно. Механическое равновесие в задаче о стационарных движениях определяется, как было показано, независимо от определения токов, которые входят в (1.3.19) просто как параметры. Для устойчивости такого движения необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво механическое равновесия при неварьируемых токах. При стационарных токах уравнение в вариациях относительно положения равновесия, найденного из (1.3.19) имеет вид

Производная на всем интервале изменения у G (О, оо) положи-

тельна. Таким образом, характеристическое уравнение для (1.3.20) имеет действительные корни разных знаков, т. е. положение равновесия является седловым. Такой вывод по существу является следствием теоремы Прнпюу, переформулированной для магнитных зарядов.

Рассмотрим равновесие в системе двух сверхпроводящих колец. При этом потокосцепления, вводимые согласно (1.3.15),

Ф1 = Lh + M{y)i2, Ф2 = М{у)н + Li2 (1.3.21)

будут постоянными импульсами, а токи ii,i2 - циклическими скоростями. Уравнение Рауса для такой системы, отвечающее вертикальному перемещению кольца, записывается в форме

, ЬМ(Ф? + Ф2) - (L2 + М2)Ф1Ф2 дМ . .

+-JpM.- =

Постоянные потокосцепления Ф1, Ф2 входят в выражение для пондеро-моторной силы как параметры. Квадратичная форма LM(\ + Ф2) ~ - (L + М)Ф1Ф2 не является знакоопределенной. В этом можно убедиться и не применяя критерий Сильвестра. Действительно, имеем

ЬМ(Ф? + ф2) - (L2 + М2)Ф1Ф2 = -{L - Mhh =

= -(*iL - Ф2М)(Ф2Ь - Ф1М). (1.3.23) Для любых значений Ф1 и Ф2 одного знака обязательно существует такое значение координаты уо, при котором одна из скобок, а, следовательно, и один из токов, обратятся в нуль, что является следствием монотонно убывающего характера функции М{у). Это поло-



34 Глава 1. Описание электромеханических систем

жение отвечает нулю электромагнитной силы, нри у lt; уо электромагнитная сила отрицательна, что соответствует отталкиванию колец, а нри у gt; Уо - положительна, что соответствует их притяжению. При у оо притяжение ослабевает, стремясь к нулю. Таким образом,

электромагнитная сила в диапазоне {уо,оо) имеет максимум, чему соответствует точка нулевой жесткости подвеса. В этом можно убедиться и непосредственно, взяв производную от выражения для электромагнитного усилия по координате у. Качественный характер зависимости электромагнит-Уо У ной силы от у приведен на рис. 1.2.

При весе нижнего кольца меньшем, чем величина максимума силы притяжения, система имеет два положения равновесия. Легко проверить, что положение равнове-Рис. 1.2 меньшим расстоянием между коль-

цами yi будет устойчиво, а с большим у2 неустойчиво. Область (0,2) является областью притяжения устойчивого положения равновесия. При у gt; У2 силы магнитного притяжения оказывается недостаточно для удержания нижнего кольца.

sect; 1.4. Движения электромеханических систем иод действием постоянных сторонних электродвижуш,их сил

Ряд технических устройств (некоторые измерительные приборы, контакторы, исполнительные механизмы и т.д.) представляют собой системы, к которым прикладываются постоянные сторонние ЭДС. Пе-потенциальными обобш,енными силами в этих случаях являются только силы трения. Для таких систем можно дать классификацию всех возможных движений.

Рассмотрим сначала системы с замкнутыми линейными токами. Предположим, что механическим обобгценным координатам i,..., отвечают диссипативные обобш,енные силы Qi,..., Q

такие, что

= Е Qi(b ..., п, ..., qn)qj lt; О, (1.4.1)

а равенство Р = О достигается только при qi = ... = q = 0. Координатам qi,... ,qn могут также отвечать потенциальные силы. Электромагнитные процессы предполагаются квазистационарными, а механические связи стационарными и голономными.



sect;1.4. Двиэюения электромеханических систем 35

Рассмотрим случай, когда сторонние ЭДС постоянны, а активные сопротивления не зависят от механических координат, но, вообще говоря, зависят от токов, причем падения напряжений на сопротивлениях являются возрастающими функциями токов. Покажем, что при этом в системе невозможны незатухающие ограниченные механические движения.

Рассмотрим общий случай разветвленных электрических цепей. Используя обозначения sect; 1.2, запишем laquo;электрическую raquo; подсистему уравнений Лагранжа-Максвелла в виде

+ 5] (4)4 = е 8 = 1,..., ш. (1.4.2)

Здесь = dW/dis - магнитный поток в s-u контуре, W{i,q) - энергия магнитного поля, - сопротивление к-й ветви, = const - комбинации сторонних ЭДС в ветвях, образующих s-u контур.

Вторую группу уравнений Лагранжа-Максвелла составляют уравнения движения

-J----Б--- = Qk, A: = l,...,n, (1.4.3)

dt dqu dqu dqu

где T и П - соответственно кинетическая и потенциальная энергия системы.

Далее предполагается, что функции Т, П, И, Р определены и ограничены вместе с первыми производными по всем своим аргументам в некоторой области D пространства переменных причем точки,

где д, = О, принадлежат D. Допустим также, что имеется laquo;достаточное количество raquo; сопротивлений Rk, так что цепи не имеют контуров с нулевыми сопротивлениями; однако сопротивления некоторых ветвей Rk могут быть равны нулю. Наконец, предполагается, что функции Uk{h) = Rk{h)h, не равные нулю тождественно, определены при i G G D, имеют при этом ограниченные производные по Ik и являются возрастающими функциями Ik-

Рассмотрим уравнения для определения стационарных значений токов IkoisO при отсутствии механических движений

PskUkiho) =es, s = 1,...,ш,

rn (1-4.4)

Покажем, что в некоторой области значений ЭДС, включающей точку ei = ... = = О уравнения (1.4.4) однозначно разрешимы. Рассмо-



1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118