www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

Глава 5. Заряснсенная частица

В невозмущенной системе нри г = О, 1 = 0, ф = uj{I,a) = const. В возмущенной системе имеем

. д! 81. г81 81

(5.5.9)

С учетом соотношений (5.5.9) система (5.5.3)-(5.5.4) занисьшается как система с одной быстрой фазой и после перехода от независимой неременной t к фазе ф может быть представлена в форме

da X

dф ио

uoi8E 8а

(5.5.10)

dф ио

В соответствии с методом осреднения введем новые (эволюционные) неременные J(r), к:(г), /i(r) соотношениями

/ = J(r) + eui (J, к:, /i, V) + ...,

a = к.{т) + evi (J, к:, /i, V) + ..., Л = /i(r) + (J, к:, /i, V) + ...,

(5.5.11)

где г = и неременные J, к., fi удовлетворяют системе осредненных уравнений, аналогичной (5.4.9). Выполняя асимптотическую процедуру метода усреднения, получим систему эволюционных уравнений движения частицы

(5.5.12)

где - эволюционная составляющая неременной Е. Система (5.5.12) имеет два интеграла

J = J(f, ) = /- W) - - A{s))Yds,

(5.5.13)

= и = const.

что доказывает адиабатическую инвариантность неременной действия.

Чтобы получить выражение для {J,k,) необходимо обратить первое соотношение из (5.5.13), что возможно в общем виде лишь для



sect;5.5. Двиэюение нерелятивистской частицы 277

немногих функций h{x) и е(ж). Однако некоторые выводы о движении частицы можно сделать и без знания явного вида функции {J,k). Для простоты ограничимся случаем е{х) = 0. Покажем, прежде всего, что sgn{d /dHi) = sgn{dh/dx). Пз (5.5.13) имеем dJ/d gt; О, если dh/dx gt; О или dJ/d lt; О, если dh/dx lt; О и dJ/дк lt; О при любом знаке dh/dx откуда с учетом соотногаения J{ , к.) = const и следует высказанное утверждение.

Пусть частица движется в области возрастания ноля dh/dx gt; 0. Пз (5.5.8) следует, что к = h{xc)ic, т.е. эволюционная составляющая laquo;поперечной raquo; части кинетической энергии возрастает или убывает одновременно с эволюционной составляющей Хс - абсциссы ведущего центра.

Для полной кинетической энергии Т из (5.5.2), (5.5.3), (5.5.4) имеем уравнение

f = sv = г{а - А{х)). (5.5.14)

После усреднения получим

Г = .. (5.5.15)

Здесь Т - медленная (эволюционная) составляющая кинетической энергии.

Таким образом, при движении в области возрастания функции h{x) полная кинетическая энергия в среднем возрастает со временем независимо от направления движения.

Рассмотрим отражение частицы. Ограничимся случаем, когда первоначально /i gt; О, а по истечении некоторого времени оказывается /i = О и затем /i lt; 0. Переменные к Жс, до этого возраставшие в соответствии с (5.5.12), станут убывать (частица отражается). Обратимся к интегралу полной энергии в (5.5.13).

Очевидно, что при р = О величина достигает максимально возможного для данной частицы значения = U. Поэтому определение условия отражения сводится к отысканию максимума функции {J,h) по к. при J = const и сравнению его с U.

Простое условие отражения получается для полей следующего вида. Пусть h{x) возрастает до значения /i*, после чего магнитное поле становится слабо неоднородным. В таком поле функция {J,k) как функция к имеет вид, аналогичный виду h{x), т. е. вначале возрастает до значения = J/i*, а затем делается почти постоянной. Поэтому для любой частицы, у которой U gt; Jh , равенства U = и р = О невозможны, т.е. такие частицы не отражаются. Частицы же, у которых и lt; Jh*, отразятся. Следовательно, условие отражения имеет вид U/J lt; h*.



278 Глава 5. Заряснсенная частица

sect; 5.6. Движение нерелятивистской заряженной частицы

в возмуш,енном аксиально-симметричном ноле

В этом параграфе указывается еще ряд случаев, когда возможно разделение движений. Невозмущенное электромагнитное поле будем считать аксиально-симметричным. Поэтому уравнения движения частицы (5.5.1) удобно проектировать оси цилиндрической системы координат (г, (p,z).B безразмерных переменных предыдущего параграфа получим систему уравнений движения

г гф = SiCr + rфhz - zh, -() = 2 + zhr rhz,

г (5.6.1)

z = SsCz + rh - гфкг.

Здесь Si = [Ei\c/v plusmn; Q[B], [Ei] - характерное значение величины г-й проекции вектора напряженности электрического поля.

Рассмотрим случай, когда Si = 1, е2ер = s/r, = О, = е(г), hp = = hr = 0, hz = h{r). Порождающая система уравнений для (5.6.1) в этом случае имеет вид

г - гф = е(г)-\-nphir), -(гф) = -rh(r), z = 0. (5.6.2)

Продольное движение (вдоль магнитного поля) отделяется, и для дальнейшего рассмотрения несущественно. Введением функции потока

G(r)

= J sh{s)ds, (5.6.3)

уравнения поперечного движения в (5.6.2) приводятся к системе г = и,

й = -\{а - G(r))2 + -{а - G{r))h{r) + е(г), (5.6.4)

a = (rV + G(r))=0, описывающей одномерное движение условной материальной точки в поле с гамильтонианом

П{щг,а) = + {а - G{r)f + ф{г), (5.6.5)

2 2г

где е(г) = dip/dr.

Предположим, что условная материальная точка, соответствующая системе (5.6.4), совершает колебания, т.е. при сг= const фазовые траектории системы (5.6.4) замкнуты. Возмущенная система уравнений поперечного движения по-прежнему остается гамильтоновой

г = дП/ди, й = -дП/дг, amp; = г, (5.6.6)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118