www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Нелинейная электромеханика
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [ 91 ] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
sect;5.6. Двиэюение нерелятивистской частицы 279
хотя и не автономной и имеет адиабатический инвариант, которым является неременная действия в невозмущенной задаче
J{E, а) = - [\2Е-\{а- G{s)) - ф{з)\ ds. (5.6.7)
Здесь Е - новая неременная, определяемая соотношением
= + -{о - G{T)f + V(r), (5.6.8)
1,2(1 lt; 2) - корни уравнения, нолученного из (5.6.8) при = О и а,Е = const.
Координата laquo;ведущего raquo; центра г с с точностью до малых величин является корнем уравнения
{а - G{rc)f + -(а - G(r,))/i(r,) + в(г,) = 0. (5.6.9)
ri Гс
Если е(г) = О, то Гс - корень уравнения
а-С{гс) = 0. (5.6.10)
Кроме того, если магнитное поле слабо неоднородно, то
G{s) = j rh{r)dr = h{OY (5.6.11)
где - эволюционная составляющая координаты laquo;ведущего raquo; центра
Гс, вводимая соотношением Гс = + sui----Вычисляя интеграл (5.6.7),
получим
т. е. известный поперечный инвариант существующей адиабатической теории движения заряженных частиц в слабо неоднородных полях. Пусть теперь магнитное поле имеет вид
Н(г) = h{r)ez + -hrGrj hr = const, (5.6.13)
a электрическое - такой же, как и прежде. В этом случае компоненты векторного потенциала А (г) равны
Аг = 0, А = J rh(r)dr, Az = Кр. (5.6.14)
Уравнения движения частицы (5.6.1) примут вид
г = и, й = гио + е(г) + ruohir),
(5.6.15)
amp; = г{1-\-whr), W =-sujhr,
280 Глава 5. Заряснсенная частица
где UJ = W = Z. Вводя в системе (5.6.15) новую неременную Л = 1 + + hrW, придем к системе
г = щ й= \{а - G(r))2 - -{а - G{r)) + е(г)
а = ел, Х = -гп-2-
(5.6.16)
Эта система имеет интеграл энергии
+ (га;) + -г + Ф{г) = const. (5.6.17)
Здесь имеется полная аналогия с задачей, рассмотренной в предыдущем параграфе. Система (5.6.16) имеет адиабатический инвариант
J{E, = - [\2Е- \{f - G{s)f - 2ф{8)] ds, (5.6.18)
где J, K - эволюционные составляющие переменных I,E,a соответственно. Система эволюционных уравнений представится в виде
к = ег, f,= -ehl. (5.6.19)
Здесь fi - эволюционная составляющая переменной Л, а функция {J,k) получается обращением функции в (5.6.18). Уравнения (5.6.19) описывают новое одномерное движение с потенциалом ehfE{J,K).
Для эволюционной составляющей радиального смещения laquo;ведущего raquo; центра г с можно получить уравнения
= 7 = ~7-- (5.6.20)
где функция K{,ii) находится после дифференцирования по времени уравнения
1 / / ч о 1
в случае е(г) = О
m) = -mo+ih{o] (5.6.22)
и функция к {О в отличии от функции Eh{xc) sect; 5.4 не зависит от р. Теперь введением laquo;местного raquo; времени dd = dt/K{0 система (5.6.20) приводится к гамильтоновой
В отличие от предыдущего рассмотрения (в декартовой системе координат) это преобразование возможно только при е(г) = 0. Кроме того, существенно отличие и в виде функции К{0 в этих двух случаях.
{к - G{Of + ( laquo; - + е(С) = 0. (5.6.21)
ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ МАГНИТОУНРУГОСТИ
sect;6.1. Постановка laquo;унруго-линейных raquo; задач нелинейной магнитоунругости
В настоящей главе рассматриваются различные варианты следующей задачи. Задано недеформированное состояние системы упругих или упруго связанных твердых тел, среди которых имеются проводники и ферромагнитные тела. Задана также напряженность поля сторонних электродвижущих сил. Требуется найти плотность тока j или линейные токи г, магнитное поле, т.е. векторы магнитной индукции В и напряженности поля Н, и упругие перемещения и иод действием поля при механическом равновесии или колебаниях.
Ограничимся случаями, когда можно не учитывать различные laquo;специальные raquo; физические эффекты (такие как магнитострикция, эффект Холла и т. д.). В частности, в выражении для плотности нондеромоторных сил f в магнито-линейных средах удержим всего два члена
f =]хВ-Я2у , (6.1.1)
где р - магнитная проницаемость среды. Предельным переходом из соотногаения (6.1.1) определяется также плотность поверхностных сил на поверхностях разрыва р. Пз сил, отвечающих члену 1/2ЯУ , в дальнейшем будут учитываться только эти поверхностные силы.
Рассмотрим сначала механическое равновесие. Задача в этом случае состоит в решении уравнений магнитного поля и уравнений теории упругости или ее технических вариантов. Они образуют laquo;перевязанную raquo; систему, так как вид области, где определяется поле, и распределение плотности токов в пространстве зависят от перемещений, перемещения же, в свою очередь, определяются силами зависящими от токов и поля.
Будем предполагать перемещения малыми. Иначе говоря, допустим, что если пондеромоторные силы (вообще говоря, зависящие от перемещений) известны, то перемещения можно определить из уравнений линейной теории упругости, внеся в них известные значения объемных и поверхностных сил.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [ 91 ] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 |