www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

282 Глава 6. Задачи нелинейной теории

Опишем ситуации, когда и при этом предположении необходимо учитывать зависимость поля и пондеромоторных сил от перемеш,ений. Рассмотрим два случая: притяжение ферромагнитных тел и взаимодействие проводников, по которым протекают токи. В первом из этих случаев силы соответствуют только члену l/2iJV/i в (6.1.1), во втором - только члену j х В.

Пусть имеются упругие тела, расположенные в пространстве так, что расстояния между некоторыми участками их поверхностей малы (в указанном ниже смысле). Предположим сначала, что все три размера тел одного порядка, а оба размера близко расположенных участков поверхностей соизмеримы с характерным размером тел. При этом близко расположенные участки должны иметь laquo;подходяш,ую raquo; форму (чтобы поверхности могли laquo;примыкать raquo; одна к другой в области значительных размеров); например, они могут быть плоскими. Считаем также, что хотя бы один из близко расположенных участков поверхностей не закреплен. Допустим, что тела магнито-однородные {р = = const), а их магнитные проницаемости отличны от проницаемости /io окружаюш,ей неупругой среды. Тогда в магнитном поле на тела будут действовать поверхностные пондеромоторные силы. Рассмотрим равновесие системы под действием этих сил в условиях, когда взаимодействие токов, создаюш,их поле, можно не учитывать.

Обозначим характерные значения: I - размеров тел, h - расстояний между близко расположенными поверхностями в недеформиро-ванном состоянии (расстояния отсчитываются по нормали к одной из поверхностей), а - упругих перемеш,ений, р - магнитных проницае-мостей тел, Bq, В - соответственно индукции в области между близко расположенными поверхностями и внутри тел, В2 - индукция в окру-жаюш,ей среде на расстояниях порядка I от поверхностей тел.

Отношение а/1, согласно сказанному выше, считаем малым; его величина служит критерием малости перемеш,ений.

Допустим, что характерные значения удовлетворяют следуюш,им требованиям: а/1 = 0{h/l), т.е. перемеш,ения, в том числе и относительные смеш,ения близко расположенных поверхностей по нормалям к ним, сравнимы с первоначальными расстояниями между поверхностями; Ро/р = 0{h/l), т.е. отношение магнитной проницаемости среды к магнитной проницаемости тел мало (допустимы и меньшие значения этого отношения, например, ро/р (/0 и т.п.; В2/В0 = 0{h/l), т.е. поле в окружаюш,ей среде на расстояниях, сравнимых с размерами тел, мало по сравнению с полем в промежутке между телами.

Требование ро/р = 0{а/1) может быть физически выполнено только тогда, когда упругие тела ферромагнитные. Последнее же из указанных требований накладывает ограничения на форму тел и конфи-



sect;6.1. Постановка laquo;упруго-линейных raquo; задач 283

гурацию токов. Они должны быть такими, что laquo;число raquo; линий индукции, замыкающихся по пути laquo;точка внутри тела - промежуток между близко расположенными поверхностями - другое тело - другой промежуток и т. д. - исходная точка в первом теле raquo;, значительно превосходило laquo;число raquo; линий, проходящих расстояние порядка I вне тел. При этом характерная индукция В внутри тел будет сравнима с Bq.

Примером системы описанного вида могут служить две половинки ферромагнитного тора, получающиеся, если разрезать тор плоскостью, нормальной к осевой окружности; половинки затем должны быть раздвинуты так, чтобы между их торцами образовались узкие зазоры, и закреплены. Тор покрывается обмоткой, осью которой служит осевая окружность тора. Система может состоять и из одного упругого тела; пример - тот же тор, но с одним вырезом.

В рассматриваемой ситуации малые перемещения точек близко расположенных поверхностей существенно изменяют поле и пондеромоторные силы. Формально это можно показать, например, так. Проведем контур (7, имеющий примерно ту же форму, что и характерные силовые линии, и рассмотрим циркуляцию Н в фактически имеющемся поле и условном поле, создаваемом тем же током в недеформированной системе. Получим

Jlidc = J Н*б/с = /, (6.1.2)

где Н* относится к недеформированному состоянию, / - полный ток, охватываемый контуром С (предполагается, что изменение конфигурации токов из-за деформации не меняет /). Пз (6.1.2) следует равенство

Во + в1 plusmn; = ВоЛ + В. (6.1.3)

Ро р Ро h

Здесь h,h - a,l - длины участков контура, расположенных в немагнитной среде и в ферромагнетике; Во, Яо* и т. д. - соответствующие средние значения индукции; в (6.1.3) использованы прежние обозначения, так как в качестве характерных можно принять величины, входящие в (6.1.3). Вместо I + а можно, очевидно, писать просто I. Преобразуем (6.1.3) к виду

h-apo h-a (6.1.4)

АВо = Во- Яо*, АВ = В- Б*.

Коэффициенты при АВ и Бо* в (6.1.4) суть величины порядка единицы. Поэтому, по крайней мере, одно из приращений АВ, АВо должно



284 Глава 6. Задачи нелинейной теории

быть сравнимо с Бо*- В общем же случае обе величины ABABq ~ ~ Бо*, т.е. изменение ноля (и пондеромоторных сил), обусловленное перемещениями близко расположенных поверхностей, будет того же порядка, что и само поле (или силы).

Тот же вывод относится и к случаю, когда необходимо учитывать нелинейность зависимости В{Н) в ферромагнетике, только под р теперь следует понимать характерное значение dB/dH в веществе. Кроме того, должно выполняться требование, чтобы зоны, где dB/dH ~ ро (если они существуют), не изменяли описанного выше распределения областей с большими и малыми значениями dB/dH.

Интересен случай, когда члены Bl/p, В J/р в (6.1.3) малы по сравнению с остальными двумя членами. Тогда ферромагнетик можно считать идеальным (/i = оо). Это приводит к существенным упрощениям, так как отпадает задача об определении поля внутри тел.

Описанная выше основная ситуация допускает некоторые видоизменения. В частности, размеры ферромагнитных тел в трех направлениях могут сильно разниться между собой. Соответственно, разными будут характерные значения индукции в ферромагнетике и в промежутках между близко расположенными поверхностями. Обозначим через l,b,ho соответственно характерные значения длины, ширины и толщины тела. Тогда для пластинки или оболочки I b ho, для стержня I Ь ho. Рассмотрению подлежат ситуации, когда h и а малы по сравнению с наименьшим размером близко расположенных поверхностей, а Boh/po Blc/fi, где 1с - характерная длина силовой линии. Из последнего соотношения в каждом конкретном случае можно получить оценки, связывающие магнитные проницаемости с размерами. Например, для стержней, притягивающихся боковыми поверхностями, должно быть 1с ~ I, В ~ BqI/Hq, р/ро ~ P/hho или /1 10 gt; P/hho.

Для трехмерных тел ранее требовалось, чтобы Во В. Но возможен и случай, когда В Bq здь счет введения дополнительного поля, почти все силовые линии которого замыкаются целиком внутри одного тела. Аналогичный случай возможен в системе ферромагнитных стержней и т. д.

Опишем еще одну ситуацию, когда пондеромоторные силы существенно зависят от малых перемещений. Рассмотрим два проводника, у которых размеры 6, ho поперечных сечений малы по сравнению с длиной I. Пусть проводники расположены в пространстве так, что расстояния между их боковыми поверхностями по всей длине (или на значительной части длины) сравнимы с размерами сечений. Допустим, что по проводникам пропускается ток, вследствие чего они либо притягиваются, либо отталкиваются. Пусть при этом боковые поверхности



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118