www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;6.1. Постановка laquo;упруго-линейных raquo; задач 285

проводников сближаются или расходятся на расстояния, сравнимые с нервоначальными расстояниями между ними. Тогда силы, действующие на деформированные проводники, будут отличаться от сил, подсчитанных для недеформированного состояния, на величины того же порядка, что и сами силы.

Это видно из следующего. Выделим в одном проводнике элементарную нить тока и рассмотрим поле, создаваемое ею внутри второго проводника. В этом поле индукция в некоторой точке будет примерно такой же, как в ноле бесконечно длинного линейного тока, направленного по касательной к нити (берется касательная, ближайшая к рассматриваемой точке). Но в последнем поле индукция обратно пропорциональна расстоянию до тока и, следовательно, существенно изменяется при изменении расстояния на величину, сравнимую с его первоначальным значением. Поэтому и полное поле (получающееся после суммирования вкладов всех нитей) в некоторой материальной точке второго проводника будет существенно зависеть от ее расстояния до первого проводника. То же относится и к силам, действующим на второй проводник. Рассмотрев аналогичным образом силы, действующие на первый проводник, получим, что силы взаимодействия проводников существенно зависят от расстояния между их боковыми поверхностями.

Онисанная ситуация естественно приводит к задаче об изгибе двух притягивающихся или отталкивающихся тонких стержней с почти параллельными осями и к задаче об изгибе стержня, расположенного вблизи ферромагнетика. В последнем случае можно считать, что ток в стержне взаимодействует с laquo;зеркальным raquo; током, т. е. со своим отражением в ферромагнетике. Как и предыдущие, эти задачи будут laquo;упруго-линейными raquo;, так как линейные уравнения статики тонких стержней при малых значениях Ь/1, ho/l можно использовать и тогда, когда прогибы сравнимы с размерами сечений. Аналогично формулируются задачи о равновесии струн или тяжелых нитей, только в этих задачах естественнее считать, что размеры сечений малы но сравнению с не-ремещениями.

Стержни могут быть не параллельными, а скрещивающимися. Тогда силы воздействия одного стержня на другой в первом приближении можно заменить сосредоточенной силой.

При другой форме проводников зависимость пондеромоторных сил от малых перемещений несущественна (если исключить тела с большим числом гребней и пиков). Например, поле вблизи тонкого слоя с немалыми радиусами кривизны мало меняется при изменениях расстояния, сравнимых с первоначальным малым значением. Поэтому и силы, действующие на другой тонкий слой, помещенный вблизи пер-



286 Глава 6. Задачи нелинейной теории

вого, будут мало меняться нри малых перемещениях. То же относится к взаимодействию близко расположенных объемных проводников, если перемещения малы по сравнению с радиусами кривизны близко расположенных поверхностей и толщиной тел.

Таким образом, существуют два основных класса laquo;у пру го-линейных raquo; задач нелинейной магнитоупругости, относящиеся соответственно к равновесию близко расположенных ферромагнитных тел и близко расположенных тонких проводников*) в описанных выше ситуациях.

Эти ситуации вполне естественны для техники. Они возникают, в частности, в случаях, когда притяжение ферромагнитных тел или взаимодействие проводников с токами используется для перемещения упруго закрепленных или деформирования гибких элементов конструкции (электромагнитные исполнительные механизмы, переключатели и т.п.). В такого рода устройствах ферромагнитные тела (например, сердечники и якори электромагнитов) обычно устанавливаются на расстояниях, примерно равных нужным упругим перемещениям. Благодаря этому токи, необходимые для создания требуемых перемещений, оказываются существенно меньше, чем в случае, когда тела значительно удалены друг от друга. Малые зазоры между поверхностями ферромагнитных тел или проводников вообще характерны для электротехники. Поэтому laquo;у пру го-линейные raquo; задачи могут представлять интерес, например, в связи с расчетом на прочность, и в тех случаях, когда деформации под действием поля нежелательны.

Вообще говоря, определение напряжений в ферромагнитном теле, представляет более сложную задачу из-за магнитострикции. Далее предполагается, что стрикционные напряжения не влияют на рассматриваемые laquo;макроперемещения raquo;. Соответственно этому магнитная проницаемость р считается независящей от деформаций и учитываются только поверхностные силы на поверхностях разрыва /i, т. е. на границах ферромагнитных тел.

sect; 6.2. Равновесие ферромагнитных тел. Нелинейные краевые задачи

Система уравнений упруго-линейных задач нелинейной магнитоупругости состоит из уравнений задачи о стационарном распределении токов, уравнений магнитостатики и уравнений линейной теории упругости. В уравнения теории упругости входят пондеромоторные силы.

*)Поле может зависеть от малых перемещений также из-за того, что перемещения изменяют величины токов. Это осуществляется с помощью специальных устройств: прерывателей, скользящих контактов и т. н. Такие системы далее не рассматриваются.



sect;6.2. Равновесие ферромагнитных тел 287

которые следует относить к недеформированному телу; в частности, для трехмерного тела граничные условия ставятся на недеформированной поверхности.

Будем искать поле и силы с точностью, достаточной для определения упругих перемещений. Поскольку в линейной теории упругости удерживаются лишь младшие члены относительно а , то только младшие члены нужно удерживать и при определении токов, поля и пондеромоторных сил; кроме того, можно не учитывать силы, действующие в малых областях, если эти силы не слишком велики. Отсюда следует, что токи можно находить для недеформированного состояния, пренебрегая малыми деформациями проводников. По ноле и величины сил даже в рассматриваемом приближении необходимо определять для деформированной системы.

Выясним, какие упрощения допускает задача магнитостатики вследствие того, что при этом можно интересоваться только младшими членами относительно а/1. Рассмотрим сначала систему близко расположенных ферромагнитных тел. Па их поверхности следует поставить обычные условия непрерывности нормальной составляющей В и тангенциальной Н. Па участках поверхности, расположенных вблизи других ферромагнитных тел, эти условия должны записываться для деформированного состояния. Таким способом учитывается зависимость поля от перемещений. Остальную часть границы между ферромагнетиком и немагнитной средой можно считать совпадающей с поверхностью недеформированных тел. Покажем теперь, что эта задача с требуемой точностью сводится к задаче, где все граничные условия ставятся на неизмененных поверхностях, но часть условий содержит перемещения. Для этого выразим поле в промежутках между телами через величины, характеризующие поле внутри тел.

Рассмотрим слой между близко расположенными участками двух поверхностей. Назовем один участок 5, другой - 5* и обозначим орт нормали к 5 в некоторой точке М, направленный внутрь слоя, через п(М), орт нормали к 5* в точке (обозначим ее М*) пересечения п с 5*, направленный от слоя, через п*(М); длину отрезка п между М и в недеформированном состоянии обозначим через h{M), в деформированном - через h{M) - и{М). В рассматриваемом приближении геометрические характеристики слоя достаточно задавать с точностью до старших членов относительно h/l. Поэтому границу участка S можно проводить с ошибкой порядка /i; рассматривая деформирование поверхностей, можно не учитывать тангенциальные перемещения точек на них. Допустим, что везде радиусы кривизны 5 и 5* порядка P/h. Тогда угол между п и п* будет порядка h/l (иначе 5 и 5* не могли бы laquo;примыкать raquo; друг к другу на расстояниях порядка I).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118