www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [ 94 ] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

Глава 6. Задачи нелинейной теории

Обозначим скалярный потенциал на 5 в деформированном состоянии через (р{М), на 5* - через (/?*(М) (между М и М* установлено однозначное соответствие, поэтому вместо (/?*(М*) можно писать (/?*(М)). Многозначность потенциала здесь не имеет значения. Из сделанных ранее предположений о форме и расположении тел в пространстве следует, что для тел с достаточно гладкими поверхностями изменение потенциала на поверхности на расстояниях порядка h мало по сравнению с его переходом через слой. Это приводит к условию

(6.2.1)

где д if Ids - производная по любой из касательных к поверхности. Вторые и третьи производные Lp ио s, ио крайней мере, в областях, удаленных на расстоянии порядка I от областей, где заданы токи, также не могут быть велики. Поэтому на 5, 5* выполняются условия

if-if*

; dip

(6.2.2)

Кроме того, потенциал вблизи краев слоя не может превосходить на порядок ip{M).

В однородной среде, и, следовательно, внутри слоя, потенциал (р удовлетворяет уравнению Лапласа

Aip = 0. (6.2.3)

Введем координату - расстояние от М, отсчитываемое вдоль п, О lt; h{M) - и{М). При указанных выгае условиях везде в слое, кроме областей, вблизи его краев регаение уравнение (6.2.3) может быть представлено в виде *)

if = (р{М) +

(р*(М)-(р(М)

+ 0{h/l).

(6.2.4)

h{M)-u{M)

Здесь символ 0{h?/I) означает, что отногаение невыписанного члена ко второму члену в правой части порядка h?/I. Пользуясь этим, можно найти два первых члена разложения Vp и напряженности поля в слое. Принимая во внимание (6.2.2), получим

щ = -= amp;.п + - (М)-,(М)

h{M)-u{M)

дМ h{M)-u{M) д(р{М)

+ 0{h/V). (6.2.5)

Здесь и далее через д/дМ обозначается градиент функции заданной

*) Асимптотические разложения такого вида для бесконечных полос описаны, в частности, в статье Н.Н. Моисеева [26].



sect; 6.2. Равновесие ферромагнитных тел 289

на 5, он представляет собой вектор, лежащей в плоскости, касающейся S в точке М.

Из (6.2.5) следует, что производная дср/дп на стороне 5, обращенной к слою, равна

- laquo;

Опуская поправки 0(/i/F), запишем соотношение, связьшающее ср, и дсро/дп

,{M)={M) + [h{M)-u{M)]. (6.2.7)

Введем производные по нормали на сторонах 5 и 5*, обращенных laquo;к телу raquo;

дп р дп дп /i* дп

Получим

/1 dip{M)

(6.2.

MM) = {M) + [h{M)-u{M)]-

/io on

dipM) /i dip{M)

(6.2.9)

дп /i* an

Соотношения (6.2.9) связьшают значения скалярного потенциала и его нормальной производной на близко расположенных поверхностях. Им эквивалентны соотношения, связывающие нормальные составляющие индукции и тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля

Я = Я, + -[(/1-и)Б /Н-

Второе соотношение(6.2.10) получается из членов порядка h/l в (6.2.5). Поэтому при его выводе следует учитывать, что направления п и п* различны. По далее это различие несущественно.

У краев слоя, т. е. в узких областях вблизи линий, ограничивающих 5 и 5*, выписанные соотношения несправедливы. Однако вблизи краев индукция во всяком случае не превосходит на порядок индукцию вдали краев. Поэтому эти области, как и всякие малые области с laquo;не слишком большими raquo; значениями индукции, в принятом приближении можно не учитывать.

Соотношения (6.2.9) или (6.2.10) следует рассматривать как граничные условия задачи магнитостатики на 5 и 5*. С требуемой точностью их можно записывать для точек недеформированных поверхностей, сохраняя, однако, и{М) в правой части. В результате задача маг-



290 Глава 6. Задачи нелинейной теории

нитостатики сводится к определению поля внутри тел и в окружающем пространстве, причем изменение этой области при деформировании не учитывается. Промежутки же между телами из рассмотрения исключаются. Для наглядности, например, можно считать, что промежутки заполнены ферромагнетиком так, что образуется единое тело, в этом теле проведены несмещающиеся перегородки, совпадающие по форме с S или 5*, и на таких перегородках выполняются условия (6.2.9) или (6.2.10).

В условия (6.2.9) и (6.2.10) существенным образом входят перемещения и{М). С другой стороны, в рассматриваемом приближении этим полностью учитывается зависимость поля от перемещений. Остальные граничные условия имеют вид, обычный в задачах магнитостатики.

В некоторых случаях без большой погрешности можно пренебречь laquo;толщиной raquo; проводников (или катушек) и считать, что на части границы ферромагнетика заданы поверхностные токи. Тогда задача магнитостатики сводится к определению решения уравнения Лапласа относительно ср только в области laquo;внутри raquo; тел при условиях (6.2.9), заданных значениях тангенциальной составляющей на части поверхности, где протекают поверхностные токи, и условии дср/дп = О на всей поверхности ферромагнетика, кроме 5 и 5*. Последнее условие означает, что laquo;почти raquo; все силовые линии не выходят из тела, имеющего большую магнитную проницаемость и конфигурацию, типа тора, описанного в sect; 6.1.

Задача относительно ср получается также в случаях, когда можно положить fi = оо в части тела, расположенной вблизи области, где протекают токи. Тогда некоторый laquo;кусок raquo; ферромагнетика можно условно вырезать и на границах выреза считать заданными значения (р. В остальных случаях задачу магнитостатики нельзя сразу свести к определению только ср, так как задаются не значения потенциала, а токи. В таких случаях следует использовать условия (6.2.10) или получающиеся из них условия для векторного потенциала.

Если поверхности 5 и 5* не гладкие, то в малых областях вблизи разрывов /i(M), например, вблизи уступа на S или 5*, индукция, рассчитанная в предположении, что среды магнитолинейные, может быть весьма велика. Тем не менее, есть основания не учитывать эти области так же, как и области вблизи краев слоя. Действительно, из-за насыщения ферромагнетика фактические значения индукции останутся ограниченными, а поверхностные силы, примерно пропорциональными величине 1 - fio/fi, где fi - характерное значение dB/dH, будут существенно меньше, чем при ненасыщенном ферромагнетике, вслед-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [ 94 ] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118