www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [ 96 ] 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

Глава 6. Задачи нелинейной теории

Тем же путем записываются уравнения изгиба тонкой ферромагнитной иластинки и балки

ЛЛг; ---= О,

(6.2.20)

= 0.

Вообще же, нагрузка вида (6.2.13) может быть приложена к различным упругим телам, что порождает множество нелинейных краевых задач, аналогичных указанным выше.

В случаях, когда на тело, кроме электромагнитных сил, действует заданная внешняя нагрузка, возникают задачи о laquo;взаимодействии raquo; этих двух факторов. Сделав, например, в (6.2.19) замену i;* = 1 - f-\-v, получим уравнение

д.. + = -А/. (6.2.21)

Отсюда и из (6.2.16) следует, что приложение внешней нагрузки до некоторой степени эквивалентно искривлению магнита.

Рассмотрим теперь случаи, когда ферромагнетик нельзя считать идеальным. Для двумерных и, в особенности, для одномерных тел в таких случаях часто можно использовать приближенные методы определения поля типа методов теории магнитных цепей и т. п. При этом

считаются заданными магнитодвижущие силы, что эквивалентно заданию скалярного потенциала. Поэтому будем считать, что задача магнитостати-учЧЧЧ\чччччччччч\ччччччч ки сводится к определению (р и выпи-

шем приближенные уравнения для распределения потенциала в тонких телах.

Решим сначала следующую модельную задачу. Пусть дан вытянутый прямоугольник 0 lt;x lt;/,0 lt; lt;/io, /о,в нем требуется найти решение уравнения Лапласа при граничных условиях: (р = I при ж = О, dif/dx = О при X = I, dif/dy = О при у = ho и (р = ад(р/ду при у = 0. Эта задача соответствует задаче об определении поля в достаточно широком (в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, рис. 6.3) слое ферромагнетика, отделенном тонким промежутком от поверхности идеально ферромагнитного тела, на этой поверхности принято ср = = 0. Для поля вдали от краев задачу, очевидно, можно считать плоской. Выясним, как свести ее к одномерной, воспользовавшись тем, что прямоугольник (сечение слоя плоскостями, параллельными плоскости ху) вытянутый. Согласно предыдущему, параметр а = hfi/ро P/ho-


Рис. 6.3



sect;6.2. Равновесие ферромагнитных тел 295

Используя метод Фурье, пайдем решение для прямоугольника у)=21 plusmn;-cMl-x/O.V/o

где ikj к = 1,... - корни уравнения

cos г/ = {a/ho)iy smiy. (6.2.23)

При a/ho 1 имеем i/i = [к - 1)7г, к = 2,.... Поэтому все члены ряда (6.2.22), кроме первого, будут малы. Отсюда следует приближенное равенство

/ jChv{l-x/l) I [h гаоолл

( deg;)= ch. =/VT-По (6.2.24) можно получить и не имея точного решения. Рассмотрим элемент области между прямыми, параллельными оси у и проходягци-ми через точки с абсциссами XHX-\-dx. Предположим, что индукция не зависит от и запишем соотношение, выражаюш,ее баланс магнитных потоков через laquo;нижнюю raquo; и laquo;боковые raquo; границы элемента

hoB{x) - hoB{x + dx) - Bodx = 0. (6.2.25)

Выразив здесь индукцию через скалярный потенциал, получим уравнение

fji hho

Решение уравнения (6.2.26) нри граничных условиях (/?(0) = /, Lp(l) = О совпадает с (6.2.24). Этим оправдывается использование уравнений такого типа.

В задачах магнитоупругости для одномерных тел нужно заменить величину h в (6.2.26) на /i - и{х), где и - прогиб. В результате, получается система двух нелинейных уравнений относительно и{х) и Lp{x). Например, для балки, притягиваюш,ейся к твердому идеально ферромагнитному телу и включенной в магнитную цепь согласно рис. 6.2, эти уравнения имеют вид:

IV 1 РоЬ Ро (аоо7\

2EJ{h-u) phoh-u

где Ъ - ширина балки, EJ - ее жесткость на изгиб.

Аналогично составляются уравнения, онисываюгцие распределение потенциала в двумерном случае. Рассмотрим, например, тонкую пластинку при условии, что силовые линии проходят промежуток между некоторым телом с потенциалом Lpo и пластинкой и далее по пластинке, не laquo;выходя raquo; через поверхность, обраш,енную от тела (как на рис. 6.3).



296 Глава 6. Задачи нелинейной теории

Вырежем элементарный цилиндр с площадью основания S и запишем соотношение баланса магнитных потоков

ho J Bndl + J HofiodS = 0. (6.2.28)

Здесь Г - контур основания цилиндра, - проекция индукции на внешнюю нормаль к контуру. Переходя к пределу и используя (6.2.5), получим уравнение

A i=0, (6.2.29)

fiho а - и

где Л - оператор Лапласа на плоскости.

sect; 6.3. Краевые задачи

о равновесии проводников с токами

Рассмотрим равновесие тонких близко расположенных стержней с токами и запишем выражение для нагрузки, действующей на проводники, удержав в нем только младший член относительно h/l (что адекватно точности, с которой записываются уравнения изгиба).

Разберем сначала следующую вспомогательную задачу. Пусть дан линейный проводник (т. е. проводник с пренебрежимо малыми размерами поперечного сечения) и точка Р, расстояние го от которой до проводника мало. Пайдем поле в этой точке, создаваемое протекающим по проводнику током, считая /i = /io во всем пространстве. Исходим из известной формулы

= hj

где т - орт касательной к контуру, направленный по току, / - сила тока, г - вектор, направленный в Р из точки на контуре; интегрирование в (6.3.1) производится по замкнутому контуру тока. Отсчитываем S так, чтобы г(0) = го, г(0) = го и -i lt; s lt; / - i, r(-/i) = г(/ - i). Преобразуем (6.3.1) к виду

н()=/ ;;:У.:)з/ =ь deg;+ - lt;

bo = -(го X Го).

Величина /bo/27r/i в (6.3.2) получается, если оставить под знаком интеграла только выписанные члены. Добавка же АН такова, что /i АН

О при /i 0. Это видно, например, из следующего. Выясняя поведение /iAH при /i О, достаточно оставить в (6.3.2) интеграл по



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [ 96 ] 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118