www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе 

Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [ 97 ] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;6.3. Краевые задачи о равновесии 297

такому отрезку вблизи точки s = О, где гиг могут быть представлены рядами по степеням s. Тогда АН представится суммой интегралов того же типа, что и от выписанных членов в (6.3.2), но с дополнительными степенями s в числителе; все эти интегралы, если их умножить на /i, стремятся к нулю при /i - gt;- 0. Однако сама величина АН, вообгце говоря, содержит большой логарифм \n{l/h) и возрастает при h 0. Из-за этого точность поел еду юш,их уравнений будет несколько ниже, чем уравнений sect; 6.2.

Тем не менее, младшим членом в Н(Р) является величина /bo/27r/i, которую только и следует удерживать далее. Это означает, что при вычислении младшего члена в выражении напряженности ноля вблизи линейного проводника можно заменить проводник бесконечным прямым проводом пренебрежимо малого сечения.

Найдем теперь с той же точностью поле вблизи тонкого провода, считая, что размеры его сечения малы но сравнению с длиной и характерным радиусом кривизны и заметно меняются лишь на расстояниях порядка I (но не h). Назовем ai поперечное сечение проводника, в плоскости которого лежит точка Р. Получим

Здесь Q - текуш,ая точка в cri,r(P, Q) - вектор, проведенный из Q в Р; 3i{Q) ~ вектор плотности тока. Различие направлений ji в разных точках cTi не учитывается и все они считаются направленными по касательной к оси проводника. Предполагается, что r{P,Q) порядка характерного размера сечения; нри этом проводник можно заменить бесконечным прямым цилиндром с образуюш,ей направленной по касательной к оси, что и приводит к (6.3.3).

Допустим далее, что Р - точка в нормальном сечении сг2 другого проводника. Обозначим плотность тока в нем через h{P)- Так как проводники располагаются близко друг от друга на протяжении длины порядка I, то различие в направлении их осей, а, следовательно, и векторов ji и J2 должны быть малы. Поэтому можно считать, что ai и СГ2 лежат в одной плоскости, перпендикулярной ji, J2. Плотность объемных сил, создаваемых нолем первого проводника во втором, будет J2(P) x[ji(Q)xr(P,Q)]

27Г J

Здесь 7= -1, если векторы ji и J2 параллельны, и 7=1, если они анти-параллельны.



Глава 6. Задачи нелинейной теории

, В технической теории изгиба существенна лишь погонная нагрузка q, получаемая интегрированием f по сечению сг2

J2{P)jiiQ)r{P,Q)

-daida2.

(6.3.5)

Взаимодействие токов, протекающих в одном и том же проводнике, тоже вызывает некоторые деформации, однако его влияние на изгиб можно не учитывать. Объемные силы f создают, кроме нагрузки q, распределенные изгибающие и крутящие моменты, но их сумма на отрезке с длиной, сравнимой с I, имеет порядок fhl, в то время как порядок изгибающего момента от нагрузки q будет fhP; распределенные моменты поэтому можно также не учитывать. Наконец, определяя г(Р, Q), следует учитывать лишь перемещения сечений, но не повороты их вследствие изгиба и кручения. Действительно, в линейной теории тонких стержней величина где - характерный угол поворота должна быть порядка h или меньше. Поэтому перемещения точек на контуре сечения, вызванные поворотами, будут порядка h/I, т. е. малыми по сравнению с прогибами.

В задачах об изгибе стержней под действием протекающего по ним тока нагрузку q следует внести в уравнения равновесия стержня. Плотность тока при этом вычисляется для недеформированного состояния, но значения г(Р, Q) нужно брать, учитывая упругие перемещения. Так как зависимость г от перемещений известна, то q, принципиально говоря, будет известной функцией их. В результате получается нелинейная краевая задача относительно механических неизвестных, входящих в уравнения статики тонких стержней.

Выражение (6.3.5) существенно упрощается для струн или нитей. В этих случаях размеры сечения проводника малы по сравнению с /i, г и вектор г можно считать независящим от Р и Q. В результате получим

(6.3.6)


* Х2

где /i, /2 - токи во взаимодействующих проводниках.

Соотношением (6.3.5) можно пользоваться и для определения нагрузки, действующей на токонесущий стержень, расположен- Fnc. 6.4 ный вблизи поверхности ферромагнетика. В таком случае под сг2 следует понимать фигуру, лежащую в той же плоскости, что и ai, и сим-



sect;6.3. Краевые задачи о равновесии 299

метричную cTi относительно прямой, получающейся при пересечении плоскости касательной плоскости к поверхности ферромагнетика. Касательную плоскость нужно проводить через точку на поверхности, близкую к cTi; при этом в выборе точки касания возможен некоторый произвол, так как в ориентации плоскости допускается огаибка порядка h/l. Плотность тока J2{P) также задается симметрично ji{Q).

В качестве примера использования соотногаения (6.3.6) вынигаем уравнения равновесия двух первоначально параллельных струн. Введем оси Ж1,Ж2,жз согласно рис. 6.4 и обозначим через ii, 12, is орты осей, а через ui = Vii2 -\-w1i3, U2 = У212 +213 соответственно векторы перемещений для первой и второй струны (первой считается струна, концы которой лежат на оси xi). Первоначальное расстояние между струнами обозначим через /i, натяжение - через Т. Имеем

(Pui jhh ui - U2 - M2

~ ~o гт1~\ T~ 19 -

dxl 27гГ ui -U2 -M2P (iU2 7/1/2 Ui - U2 - hi2

= 0. (6.3.7)

dxl 27гТ ui-U2 -M2P

Краевые условия будут ui(0) = ui(/) = 0, U2(0) = U2(0 = 0, где I - длина струны.

Складывая уравнения (6.3.7) получим и/ + U2 = О, и/ = dMi/ds. Из краевых условий теперь следует ui = - U2. Введем обозначения

2 Pohh

/ (6.3.8)

2vi/h = v, l-v = w, 2wi/h = z.

Исключая из (6.3.7) вектор U2, проектируя на оси и переходя к безразмерным переменным, придем к системе

+ 7--2 = О

V drJ

с краевыми условиями w{0) = w{kI) = 1, z{0) = z{kI) = 0. Папомним, что для притягивающихся струн 7 = - 1, для отталкивающихся 7 = 1.

Уравнения (6.3.9) совпадают по форме с уравнениями движения материальной точки в поле центральных сил, величина которых обратно пропорциональна расстоянию. Движение происходит в плоскости, где w,z - декартовы координаты, но пропорциональна расстоянию. Движение происходит в плоскости, где w,z - декартовы координаты, а центр притяжения или отталкивания расположен в начале координат. Орбитой будет проекция струны на эту плоскость.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [ 97 ] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118