Динамо-машины  Мехатроника и робототехнология 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26

динатой Z/, Гд - радиус кривизны нейтральной линии композита, Тр - .

механическое напряжение в слое ПКП с координатой Zp, Е Vi Ер - модули упругости рессоры и ПКП, причем модуль упругости поляризованной ПКП можно найти через податливость поляризованной пьезокерамики, который приводится в справочниках: Ер = (-п) .

Для прямоугольного сечения композита формула (6.33) имеет вид

M = J+2Jp,

(6.34)

Рис. 6.5. Поперечное сечение фехслойного композита БПП

Зависимость радиуса кривизны изогнутой нейтральной линии балки от ее прогиба по оси у имеет вид

d 1

dx r

(6.35)

С учетом (6.34) и (6.35) основное дифференциальное уравнение изогнутой нейтральной линии композитной балки малой кривизны имеет вид

d4 Л/

Таким образом, податливость сечения композита (обратная величина жесткости сечения) имеет вид

Ч-1 12

(6.36)

Как было показано выше, изгиб свободного конца БПП под действием электрического напряжения при отсутствии внешних сил осуществляется с постоянной кривизной По всей длине БПП (в форме окружности). Такая форма изгиба характфна для консольно защемленной балки, на свободный конец которой действует сосредоточенный изгибающий момент (рис. 6.6). Определим углы поворота сечений и перемещения такой балки при действии момента

Рис. 6.6. БПП под действием сосредоточенного изгибающего момента, приложенного на свободном конце

Дифференциальное уравнение нейтральной линии изогнутой балки

1Де - перемещение вдоль оси z, - податливость сечения балки (6.36).

Гоишетрировав последнее уравнение, получим угол поворота сечения

в(х) = - J XgMgdx + С, = ЯдМх + С где Q- постоянная интегрирования. При х = 1 в = 0, поэтому Ci = Xgl, прц х = 0

Перемещение свободного конца балки

(х) = \ k,edx + Д = +С,х + Д,

где Д- постоянная интегрирования. При х = 1 f = О, поэтому Д = - ,

при X = О

(6.37)

Приравняв перемещения , полученные из формул (6.37) и (6.28), найдем изгибающий момент, эквивалентный действию электрического напряжения U

h + 2

Е и

(6.38)

В связи с тем, что эквивалентный момент , приложенный к БПП, дает такое же перемещение и угол поворота поперечного сечения в, что и электрическое напряжение, то относительные деформации S в рессоре и ПКП также будут одинаковы для эквивалентного момента и напряжения.

Отметим, что со стороны заделки на БПП действует такой же механический момент Mjf, имеющий противоположное направление. Эта формула для определения эквивалентного момента справедлива также для БПП, имеющего выпуск рессоры, как показано на рис. 6.3. Естественно, эквивалентный момент

приложен на границе участков. Численное значение эквивалентного момента для БПП, расчет перемещений которого произведен выше: = 0,10 Им.

Используя (6.32) и (6.38), получим перемещение свободного конца рессоры с выпуском

МЧ(2-/,)/,

(6.39)

где/.=-.

В случае если БПП имеет выпуски рессоры с двух сторон (рис. 6.7), то картина изгиба нейтральной линии 0-0 такого БПП будет состоять из трех участков: Первый и третий участки останутся прямолинейными, а второй участок изогнется по дуге окружности (рис. 6.8 а.). Такая форма изгиба обеспечивается приложением двух равных по модулю и противоположно направленных изгибающих моментов Mg. Перемещение свободного конца рессоры равно перемещению как в случае с одним выпуском (рис. 6.3).

Рис. 6.7. БПП с двумя выпусками рессоры

Необходимо отметить, что такая замена действия электрического нагфяже-йия двумя эквивалентными моментами справедлива, в двух случаях. - Во-первых, когда длина первого участка /, сравнима с длиной второго участка /j, содержащего ПКП, и жесткость сечения EJ первого участка сравнима с *есткость сечения ( 7), второго участка.

- Во-вторых, когда первый участок можно представить физически в виде упругого шарнира, что эквивалентно условиям EJi laquo;(EJ)2 и (рис. 6.8 Ь).

Используя данный метод замены действия напряжения эквивалентными моментами, можно рассчитать перемещения элементов сложных упругих систем.

7 laquo;

Рис. 6.8. Изгиб нейтральной линии БПП с двумя выпусками рессоры, а - при фиксации БПП заделкой, b - при фиксации БПП упругим шарниром

Таким образом, применяя формулу (6.38) и разработанный метод , можно представить упругую систему, в которую входит БПП, как чисто механическую систему, к которой приложены только механические воздействия, включающие внешние силы и эквивалентные изгибающие моменты, заменяющие воздействие электрического напряжения на БПП и на всю упругую систему в целом. Следует подчеркнуть, что данный метод позволяет рассчитать

- перемещение элементов упругой системы,

- деформации в элементах упругой системы,

- механические напряжения в элементах угфугой системы, исключая БПП Последнее утверждение объясняется тем фактом, что такое эквивалентное механическое представление действия электрического напряжения не дает воЗ

можности найти скачки механических напряжений в БПП, возникающих при действии обратного пьезоэффекта.

Найдем коэффициент жесткости для БПП (рис. 6.3), состоящего из двух участков, податливости сечений которых соответственно имеют значения Л/ - EfJY и Ад . Если приложить силу F в точке О (рис. 6.9), то она переместится по оси Z на расстояние Е,,. В этом случае коэффициент жесткости

БПП может быть найден из выражения с = -.

Рис. 6.9. Расчетная схема для определения жесткости БПП.

Для определения перемещения ц, конца балки, имеющей два участка, воспользуемся методом Мора, задав единичную силу в той же точке 0: Р = 1, действующую в ту же сторону, (положительное значение соответствует направлению действия силы Р ):

= } 1 xPl.dx + У1 xPldx = [A,L + (L - 1)\Я - Я,)].

L-l О

Таким образом, коэффициент жесткости БПП

с = Ъ[ЯЁ +{L-iyAY\

гдеА = Я-Я,.

S частном случая, когда ПКП занимают всю длину БПП, т.е. l = L, коэффициент жесткости