Динамо-машины  Мехатроника и робототехнология 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26

Учитывая (7.3) и (7.4), получим

Р = А,-М+В,-в (7.7)

где 4 = (е + а) и В=-[ Хе{е+а)] \

Мы условились считать зеркало абсолютно жестким телом, поэтому перемещение точки В можно определить следующим образом

в=~авп, (7.8)

причем вд=в,й знак laquo;- raquo; поставлен в (7.8) из-за того, что угол поворота отрицателен, а перемещение точки В положительно.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси упругого стержня имеет вид

а с учетом (7.7), получим

Дважды проинтегрировав данное уравнение, определим зависимости угла поворота сечения и перемещения оси упругого стержня от координаты х:

9 = К

]{А,М,+В,в,)х-М,х

1 = 4

+ CX + D,

где С и ) - постоянные интегрирования. Постоянную С найдем из условия в(х = е) = :

С = ~4фЛ-2)М,+

1 Л

постоянную D найдем из условия = е) = g и (7.8):

Угол поворота сечения в точке А (х = 0)

(7.9)

перемещение в точке А

, = В = \х/{2еА,-Ъ)мА-Х/В, -а-г

(7.10)

С другой стороны, угол поворота сечения рессоры с БПП в точке А можно определить из (7.1), учитывая (7.7):

Ол = -в1 М + Х,1М, + ~Х,1 9,.

2 е + а 2 Хе\е + а)

Перемещение рессоры с БПП в точке А определим из (7.2) и (7.7):

1л = -74

1 . ,23е + За + 2/., 1 ., К 1

е + а

-М+-ХдГМЕ+-Хд1

3 Хе + а)

(7.11)

(7.12)

Приравняв углы в (7.9) и (7.11) и приравняв перемещения в (7.10) и (7.12), получим систему двух уравнений относительно и .

-ЫгЛ, -2)M+fl-i Vl --ЛМ.ЩМи-в, I у I ) 2 е+а 2 Xe[e+aj

\x/{2eA,-3)mj\x/li-a-e]%=-l,FM

о \3 Jo е+а 2 3 Хе(е+а)

(7.13)

Эта система имеет решение при Vu? кроме случая d=Q, т.к. при lt;з? - gt; О упругий стержень вырождается в струну, не имеющую изгибной жесткости. Следовательно, угол поворота поперечного сечения рессоры с БПП в точке А 9 не равен углу наклона в точке А вырожденного в струну упругого стержня. Систему уравнений (7.13) с учетом (7.5) решим при помощи символьного процессора программы MathCad-2000. Приведем ниже только численные значения вд для частного случая (а = 0), т.к. аналитические выражения решений системы уравнений (7.13) не умещаются на одной странице книги.

Указанный частный случай (а = 0) соответствует расчетной схеме сканера (рис.7.2), в соответствии с которой зеркало 1 с радиусом жестко крепится в точке О пересечения перпендикулярных упругих стержней 2.

Го Го

Рис.7.2. Расчетная схема сканера при а = О

Для определения максимального угла поворота при фиксированном значении длины упругого стержня е проанализируем зависимости угла поворота зеркала (напомним, что o=s) от относительного диаметра упругого стержня d.

Эти зависимости в аналитическом виде представляют собой длинные математические выражения, поэтому рассмотрим эти функции для конкретного численного примера при следующих значениях параметров: / = 5,0 10 .и, Z) = l,5-10- м, /7д, =0,10-10- м, =0,80-10- м, а = 0, -=0,7М0 Па (дюралюминий), =1,0-10 Па (оловянно-фосфорная бронза), fj= 0,34, s/l =10,7-10- Па, 3, = 1,35-Ю- Кч/Н (пьезокерамика ЦТБС-3). Расчеты производились при U = 500 В и при трех значениях параметра е. На рис.7.3 приведены зависимости угла поворота зеркала (в градусах) от относительного диаметра упругого стержня (в\ - при е = 5,0 10-л laquo;, 92 - при е = 10,0-10-1и, вЗ -при 6 = 15,0-10-

Графики зависимости показывают, что максимальное значение угла поворота зеркала теоретически достигается при d=0, однако это неприемлемо. В диапазоне 0 lt;d lt;:0,05 угол мало зависит от d и остается на максимальном уровне, поэтому необходимо придерживаться верхней границы диапазона при проектировании подобных усфойств. Далее происходит резкое уменьшение и практически при о? gt;0,15 угол = Такой характер зависимости можно обьяснить тем, что в (7.13) параметр d косвенно присутствует в четвертой 148

и восьмой степенях. Таким образом, влияние этого параметра на угол поворота очень велико. Поэтому при проектировании систем с аналогичной кинематикой необходимо тщательно подбирать d. Отрицательное значение угла во всем диапазоне изменения аргумента (рис. 7.3) объясняется тем, что поворот происходит по часовой стреже.

Рис. 7.3. Зависимость угла поворота зеркала (в градусах) от относительного диаметра упругого стержня d при трех значениях его длины е (в], -при е = 5,0-10-м, 02 -при е = Ю.О-Юм, 03, -при е = 15,0-10-м)

Заслуживает внимания сравнение угла для значения rf = 1,0 10- (например, на графике при е = 5,0 10-м угол поворота зеркала =-2,9 deg;) с углом поворота зеркала аналогичной упругой системы, в которой упругий стержень в точке А имеет шарнирное соединение с рессорой с БПП (рис. 7.4). Для

нее угол = = -0,037 = -2,1 deg;. Сравнение показывает, что угол поворота

Зеркала при наличии жесткого соединения с утхругим стержнем малого диаметра больше на 26% угла поворота для шарнирного соединения. Это объяс-йяется тем, что при жестком соединении рессоры с упругим стержнем в точке

А он изгибается по касательной к упругой линии рессоры (на рис. 7.4 изопп-тый стержень показан пунктирной линией). Далее по оси х упругий стержень перегибается, имея максимум перемещения между точками АиВ(0 lt;д: lt;е). поэтому угол будет больше угла между осью хи прямой, соединяющей точки А и О (как при шарнирном соединении в точке А).

Рис. 7.4. Схема упругой системы сканера с шарниром в точке А

Полученный в данном численном примере диапазон амплитудных значений угла от l до 3 deg; удовлетворяет современным требованиям, предъявляемым к лазерным сканерам для воспроизведения информащш с лазерных дисков. Данная кинематическая схема может быть использована для микроманипулятора, выходное звено которого имеет возможность кроме качательных движений в двух плоскостях совершать поступательное движение по оси z. Это движение восгфоизводится при подаче напряжения одной полярности на все БПП.

7.2. СОБСТВЕННАЯ ЧАСТОТА СКАНЕРА

Для приближенного расчета низшей собственной частоты по методу Релея необходимо определить максимальные потенциальную и кинетическую энергию упругой системы.

Потенциальная энергия двух рессор с БПП определяется выражением

- 2Е + if

(7.14)

где Egj = ----2 потенциальная энергия деформированной рессоры с

БПП гфи действии эквивалентного момента и реактивного момента в точке А,

Едр = -- потенциальная энергия деформированной рессоры с БПП при

действии реакции в точке А (знак laquo;- raquo; в выражении поставлен по причине того, что направление Р противоположно направлению перемещения ). В формуле (7.14) определяется из решения системы (7.13), 0 - из (7.1), Р - из (7.7), а 1 - из (7.2).

Потенциальная энергия двух деформированных изгибом упругих стержней имеет вид

i?:=2( + + i?: ), (7.15)

где Е = - потенциальная энергия упругого стержня под действием ре-

активного момента ,

Р S,

- - потенциальная энергия упругого стержня под действием реакции

Рео ~ ---- - потенциальная энергия упругого стержня под действием реактивного момента (знак laquo;- raquo;в выражении поставлен по причине того, что направление противоположно направлению 0). В форм gt;ле (7.15) определяется из (7.13).

Потенциальная энергия упругой системы сканера равна сумме энергий ее частей:

Е=Е,+Е:. (7.16)

Кинетическая энергия утфугой системы определяется шфажевием

Е=Е+2Е1, (7.17)